第2章 第8节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．函数的零点 函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点． (1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根． (2)零点一定在定义域内． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，即方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，故该函数无零点． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0) (x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 4.零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 5．二分法 条件 (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上图象连续不断； (2)所在区间端点的函数值满足f(a)f(b)＜0 方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 学霸笔记 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 4．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 5．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点． 6．函数F(x)＝f(x)－a有零点⇔方程F(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝a的图象有交点⇔a∈{y|y＝f(x)}，其中a为常数． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　×　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(　　√　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　×　　) (4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　×　　) 2．(教材习题改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(，1)和(3，4) D．(4，＋∞) B　解析：∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数， ∴f(x)的零点在区间(2，3)内． 3．(教材习题改编)函数f(x)＝x－()x的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：函数f(x)＝x－()x的零点个数是方程x－()x＝0的解的个数，即方程x＝()x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝()x图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.故函数f(x)＝x－()x的零点个数为1. 4．(忽视对a的分类讨论致误)若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是__________． 答案：(1，＋∞)　解析：当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意． 当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1. 若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意． 考点1　函数零点所在区间的判定　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·福建师大附中模拟)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 A　解析：函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b