7.2.2 单位圆与三角函数线 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.2.2 单位圆与三角函数线 第七章 内容结构 尝试与发现 1 新课讲授 2 例题精解 3 课堂小结 4 2 任意角的余弦和正弦表示 [尝试·发现] 尝试与发现 y x P(x,y) O 角α的终边 知识点一　单位圆 [基础·初探] 新课讲授 y x P O 知识点二 余弦线和正弦线 [基础·初探] 知识点三 正切线 [基础·初探] y x P(x,y) O 角α的终边 答：tanα=y. 例一 利用三角函数线求值 [例题·精讲] 例二 数形结合 [例题·精讲] 解：过点P作x轴的垂线,垂足为M,则： 当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时,MP=rsinα, 此时h=OT+MP=l+rsinα; 当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时,因为sinα<0, 所以MP=-rsinα,此时h=OT-MP=l+rsinα; 当α的终边在x轴上时,sinα=0, 此时h=OT=l+sinα. 所以,不管α的终边在何处,都有h=l+sinα. [课堂·小结] 1. 三角函数的作法. 2. 三角函数线的作用： (1) 利用三角函数线确定终边； (2) 利用三角函数线比较三角函数值的大小； (3) 利用三角函数线确定角的集合或范围. 课堂小结 本课结束 我们已经知道,如果是中边上异于原点的任意一点,,则,.如果选取的坐标满足,则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？ 一、单位圆 1. 定义：一般的,在平面直角坐标系中,坐标满足的点组成的集合称为单位圆. 2. 若角的终边与单位圆的交点为P,则的坐标为.即角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 二、余弦线和正弦线 如右图所示,如果角终边与单位圆的交点做x轴的垂线,垂足为,则 可以直观地表示;的方向与轴的正方向同向时,表示是正数,,方向与轴方向相反时,表示是负数,且. 习惯上,称为角的余弦线.类似的,图中的可以直观地表示,因此称为角的正弦线. 练一练： 利用角的正弦线和余弦线,可以直观的看出角的正弦和余弦信息.例如右图中,请将角的余弦线和正弦线指出来,且比较与角的正弦值和余弦值的大小. 解：角的余弦线是,正弦线是,那么而且可以看出,. 三、正切线 思考： 我们已经知道,如果的终边不在轴上,且是终边上异于原点的任意一点,则.你能仿照前面的方法给出正切的一个直观表示吗？ 如右图,设角的终边与直线交于点,则可以直观地表示,因此 称为角的正切线. 不难看出,当角的终边在第二、三象限或轴的负半轴上时,终边与直线没有交点,但终边的反向延长线与有交点,而且交点的纵坐标也正好是角的正切值.如右图中,角的正切线为,而且从图中可得,. 也就是说,角的正切等于角终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标. 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 例题一 作出和的正弦线和余弦线以及正切线,并利用三角函数线求出它们的正弦和余弦以及正切. 解：如上图,在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线,单位圆与轴交于点. 作的终边与单位圆的交点,过作轴的垂线,垂足为,延长线段,交直线于,则的正弦线为,余弦线为,正切线为. 类似可以得到的正弦线为,余弦线为,正切线为. 在图中,根据直角三角形的知识可得： ,,,,,从而有, . 例题二 将右图(1)中所示的摩天轮抽象成图(2)所示的平面图形,然后以摩天轮转轮中心为原点,以水平线为轴,建立平面直角坐标系.设到地面的高为米,点P为转轮边缘上任意一点,转轮半径为r米.记以为终边的角为,点离地面的高度为米,试用与表示. $