第11章 第1节 两个计数原理、排列与组合（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．两个计数原理 两个计数原理 目标 策略 过程 方法总数 分类加法 计数原理 完 成 一 件 事 有两类 不同的方案 在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝m＋n种不同的方法 分步乘法 计数原理 需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝m×n种不同的方法 两个计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 2．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的 顺序排成一列 组合的定义 作为一组 排列问题和组合问题的区别：元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． 3．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定 义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公 式 A＝n(n－1)(n－2)… (n－m＋1)＝ C＝＝ ＝ 性 质 A＝n！， 0！＝1 C＝C， C＋C＝C 排列数与组合数公式之间的联系为CA＝A. 学霸笔记 解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 进阶诊断 1．判断正误 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　×　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　√　　) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　×　　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　√　　) (5)若C＝C，则x＝m成立．(　　×　　) 2．(教材习题改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A.16 B．13 C．12 D．10 C　解析：将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法4×3＝12(种). 3．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 C　解体：根据题意，有一个项目分配2名志愿者，其余各项目分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有C×4！＝240(种)不同的分配方案， 4．(分类不清致误)从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种． 答案：350　解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有CC种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CC种方法．所以满足条件的不同取法有CC＋CC＝350(种). 考点1　两个计数原理的应用　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2021·山东淄博检测)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖，则他获得奖次的不同情形种数为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 C　解析：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有23－2＝6(种)情况，则他获得奖次的不同情形种数为3×6＝18(种). 2．(2023·河北石家庄模拟)如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法种数为(　　) A．780 B．840