第6章 培优增分系列（9） 微点突破——放缩法在数列中的应用（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第六章 培优增分系列（九） 微点突破——放缩法在数列中的应用 1 证明数列型不等式，因其思维跨度大，构造性强，需要有较高放缩技巧且充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 返回 2 一、先求和再放缩 例1 （2022·新高考Ⅰ卷）记 <m></m> 为数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和，已知 <m></m> ， <m></m> 是公差为 <m></m> 的等差数列． （1）求 <m></m> 的通项公式； 返回 3 解析：因为 <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> ， 又因为 <m></m> 是公差为 <m></m> 的等差数列， 所以 <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以当 <m></m> 时, <m></m> , 所以 <m></m> ， 整理得： <m></m> ， 返回 4 即 <m></m> ， 所以 <m></m> <m></m> ， 显然对于 <m></m> 也成立， 所以 <m></m> 的通项公式 <m></m> . 返回 5 （2）证明： <m></m> . 证明： <m></m> , 所以 <m></m> <m></m> <m></m> . 返回 6 1.对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式. 2.明确放缩的方向：是放大还是缩小.若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小． 返回 7 针对练1. 已知 <m></m> 为等差数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和， <m></m> ， <m></m> ． （1）求 <m></m> ； 解析：设等差数列 <m></m> 的公差为 <m></m> ， 则 <m></m> ， 所以由题意，有 <m></m> 得 <m></m> ， <m></m> ． 所以 <m></m> ． 返回 8 （2）记数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和为 <m></m> ，证明： <m></m> ． 证明： <m></m> ， 所以 <m></m> <m></m> ，即 <m></m> ． 返回 9 二、先放缩再求和 例2 设数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和为 <m></m> .已知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ． （1）求 <m></m> 的值； 解析：依题意， <m></m> ， 又 <m></m> ，所以 <m></m> ． 返回 10 （2）求数列 <m></m> 的通项公式； 解析：由题意 <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ， 两式相减得 <m></m> ， 整理得 <m></m> ， 即 <m></m> ,又 <m></m> ， 故数列 <m></m> 是首项为 <m></m> ，公差为1的等差数列， 所以 <m></m> ，所以 <m></m> ． 故数列 <m></m> 的通项公式为 <m></m> ． 返回 11 （3）证明：对一切正整数 <m></m> ，有 <m></m> ． 证明：当 <m></m> 时， <m></m> ； 当 <m></m> 时， <m></m> ； 当 <m></m> 时， <m></m> ， 此时 <m></m> <m></m> <m></m> 返回 12 <m></m> ． 综上，对一切正整数 <m></m> ， 有 <m></m> ． 返回 1.对于“和式”数列不等式，若不能或很难求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列． 2.放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始． 返回 14 3.常见的放缩技巧有： （1） <m></m> ． （2） <m></m> ． （3） <m></m> ． （4） <m></m> ， <m></m> ． 返回 15 针对练2. 已知 <m></m> 为数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和, <m></m> ， 且 <m></m> . （1）求 <m></m> 的值； 解析：由 <m></m> 及 <m></m> ，可得 <m></m> . （2）求数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和 <m></m> ； 解析：当 <m></m> 时，由 <m></m> , 得 <m></m> <m></m> ; 所以数列 <m></m> 是首项 <m></m> ，公