第6章 培优增分系列（8） 微点突破——数列中的构造问题（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第六章 培优增分系列（八） 微点突破——数列中的构造问题 1 对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式． 返回 2 一、形如 <m></m> 型 角度1 <m></m> （ <m></m> ，1， <m></m> ，其中 <m></m> ） 例1-1 （2022·济南模拟）已知数列 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ． （1）求证： <m></m> 是等比数列； 证明：由 <m></m> ，得 <m></m> ，而 <m></m> ， 所以 <m></m> 是以5为首项，以2为公比的等比数列． （2）求数列 <m></m> 的通项公式． 解析：由（1）知 <m></m> ，则 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 的通项公式 <m></m> ． 返回 3 角度2 <m></m> 例1-2 已知数列 <m></m> 满足 <m></m> ， <m></m> ，求数 列 <m></m> 的通项公式． 解析：因为 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 是以 <m></m> 为首项，2为公比的等比数列， 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ． 返回 4 角度3 <m></m> 例1-3 在数列 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，求数列 <m></m> 的通项公式． 解析：法一：原递推式可化为 <m></m> .① 比较系数得 <m></m> ，①式即 <m></m> ． 则数列 <m></m> 是首项为 <m></m> ，公比为2的等比数列， 所以 <m></m> ， 即 <m></m> ． 返回 5 法二：将 <m></m> 的两边同除以 <m></m> ，得 <m></m> ， 令 <m></m> ， 则 <m></m> ， 设 <m></m> ，比较系数得 <m></m> ， 则 <m></m> ， 返回 6 所以 <m></m> 是以 <m></m> 为首项， <m></m> 为公比的等比数列.所以 <m></m> ， 则 <m></m> ， 所以 <m></m> ． 返回 7 1.形如 <m></m> 的递推式可用构造法求通项，构 造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构 造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或 等比数列． 2.递推公式 <m></m> 的推广式 <m></m> ，两边同时除以 <m></m> 后 得到 <m></m> ，转化为 <m></m> 的形式，通过构 造公比是 <m></m> 的等比数列 <m></m> 求解． 返回 8 针对练1. （2022·武汉二中月考）已知正项数列 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，则数列 <m></m> 的通项公式为 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> √ 返回 9 解析：［法一：将递推公式 <m></m> 的两边同时除以 <m></m> ， 得 <m></m> ，① 令 <m></m> ，则①式变为 <m></m> ， 即 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 是首项为 <m></m> ， 返回 10 公比为 <m></m> 的等比数列， 所以 <m></m> ， 即 <m></m> ， 故 <m></m> ．故选D. 返回 11 法二：设 <m></m> ， 则 <m></m> ， 与题中递推公式比较得 <m></m> ， 即 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 是首项为 <m></m> ， 公比为2的等比数列，则 <m></m> ， 故 <m></m> ．故选D.］ 返回 12 针对练2. （多选）已知数列 <m></m> 满足 <m></m> ， <m></m> ， 则下列结论正确的是 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> 是等比数列 D. <m></m> 不可能是等比数列 √ √ √ 返回 13 解析：［因为 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> ， 故A正确，B错误； 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 又因为 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 是首项为 <m></m> ，公比为 <m></m> 的等比数列，故C正确； 返回 14 因为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，显然 <m></m> ， 所以 <m></m> 不可能是等比数列，故D正确．故选