第5章 培优增分系列（7） 高数探源——极化恒等式的应用（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第五章 培优增分系列（七） 高数探源——极化恒等式的应用 1 极化恒等式的证明过程与几何意义 返回 2 证明过程：如图，设 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ． <m></m> ， <m></m> ， 两式相减得 <m></m> ，此即极化恒等式． 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角线长”与“差对角线长”平方差的 <m></m> ． 返回 3 典例（1） 如图，在三角形 <m></m> 中， <m></m> 是 <m></m> 的中点， <m></m> ， <m></m> 是 <m></m> 上的 两个三等分点， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 值为__． <m></m> 解析：设 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ． 返回 4 （2）已知点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 均在半径为 <m></m> 的圆上，若 <m></m> ，则 <m></m> 的最大值为_________. <m></m> 解析：设 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点所在圆的圆心为 <m></m> ，取 <m></m> 的中点 <m></m> ， 故 <m></m> ， 因为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点在圆上，所以 <m></m> 的长度最大为 <m></m> ，其中 <m></m> 为圆 心 <m></m> 到弦 <m></m> 的距离， 故最大值为 <m></m> ，所以 <m></m> 的最大值为 <m></m> ． 返回 5 针对练1. 已知 <m></m> ， <m></m> 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 <m></m> 满足 <m></m> ，则 <m></m> 的最大值是 A.1 B.2 C. <m></m> D. <m></m> √ 返回 6 解析：［如图所示，设 <m></m> ，记 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 为 <m></m> 的中点， 由极化恒等式有： <m></m> ， 所以 <m></m> ， 可知 <m></m> 是有固定起点，固定模长的动向量． 所以点 <m></m> 的轨迹是以 <m></m> 为直径的圆，且点 <m></m> 也在此圆上， 所以 <m></m> 的最大值为圆的直径长，即为 <m></m> ．故选C.］ 返回 7 针对练2. 已知 <m></m> 为圆 <m></m> 的一条直径，点 <m></m> 为直线 <m></m> 上任意一点，则 <m></m> 的最小值是___． 1 解析：如图所示，由极化恒等式易知，当 <m></m> 垂直于 直线 <m></m> 时， <m></m> 有最小值，即 <m></m> ． 返回 8 9 $