第3章 培优增分系列（5） 高数探源——洛必达法则（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第三章 培优增分系列（五） 高数探源——洛必达法则 1 在解决不等式恒（能）成立，求参数的取值范围这一类问题时，最 常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出 现“ <m></m> ”型的代数式，就设法求其最值.“ <m></m> ”型的代数式，是大学数学中的不 定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则． 法则1 若函数 <m></m> 和 <m></m> 满足下列条件： （1） <m></m> 及 <m></m> ； （2）在点 <m></m> 的某去心邻域内， <m></m> 与 <m></m> 可导且 <m></m> ； （3） <m></m> ，那么 <m></m> ． 返回 2 （1） <m></m> 及 <m></m> ； （2）在点 <m></m> 的某去心邻域内， <m></m> 与 <m></m> 可导且 <m></m> ； （3） <m></m> ，那么 <m></m> ． 返回 法则2 若函数 <m></m> 和 <m></m> 满足下列条件： 3 例1 已知函数 <m></m> .若对任意 <m></m> 都有 <m></m> 成 立，求实数 <m></m> 的取值范围． 解析：法一：令 <m></m> ， 则 <m></m> ， 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ． ①当 <m></m> ，即 <m></m> 时， <m></m> ， 所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增， 又 <m></m> ，所以 <m></m> 恒成立，故 <m></m> 满足题意． 返回 4 ②当 <m></m> ，即 <m></m> 时， 令 <m></m> ，得 <m></m> ， 所以 <m></m> 时， <m></m> ； <m></m> 时， <m></m> ， 所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减， 在 <m></m> 上单调递增， 所以 <m></m> 与 <m></m> 恒成立矛盾，故 <m></m> 不满足题意． 综上有 <m></m> ，故实数 <m></m> 的取值范围是 <m></m> ． 返回 5 法二：当 <m></m> 时， <m></m> 恒成立，即 <m></m> 恒成立． 令 <m></m> ， 所以 <m></m> . 令 <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增.所以 <m></m> ， 所以 <m></m> 恒成立， 所以 <m></m> ，故 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增． 由洛必达法则知 <m></m> ， 所以 <m></m> ，故实数 <m></m> 的取值范围是 <m></m> ． 返回 例2 已知函数 <m></m> ． （1）若 <m></m> 在 <m></m> 处有极值，求 <m></m> 的值; 解析： <m></m> ， 依题意知 <m></m> ，所以 <m></m> ． 经检验 <m></m> 符合题意． 返回 7 （2）当 <m></m> 时， <m></m> ，求实数 <m></m> 的取值范围． 解析：法一：当 <m></m> 时， <m></m> ，即 <m></m> ，即 <m></m> ， 令 <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ． ①当 <m></m> 时， <m></m> ， 所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增， 所以 <m></m> ，所以 <m></m> 满足条件． 返回 8 ②当 <m></m> 时，若 <m></m> ，则 <m></m> ， 若 <m></m> ，则 <m></m> ． 所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减，在 <m></m> 上单调递增， 所以 <m></m> ． 令 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减． 所以 <m></m> 与 <m></m> 矛盾， 故 <m></m> 不满足条件. 返回 9 综上，实数 <m></m> 的取值范围是 <m></m> ． 法二：当 <m></m> 时， <m></m> ，即 <m></m> ，即 <m></m> ， 即 <m></m> ，即 <m></m> 恒成立， 令 <m></m> ，所以 <m></m> ， 令 <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增， 所以 <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增． 由洛必达法则知， <m></m> ， 所以 <m></m> . 故实数 <m