第3章 培优增分系列（4） 微点突破——函数中的构造问题（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第三章 培优增分系列（四） 微点突 A 破—函数中的构造问题 B 金旅 一、导数型构造函数 角度1利用f(x)与x构造 例1(2022湘豫名校联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为 f'x),当x>0时，f'-[>0,若a=2f1),b=f2, c=4f(月，则a,b,c的大小关系是 A.c<b<a .c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 返回 解析： [构造函数g)=x>0),得 容 g')=2@-f'()-鸟1， 由题知当x>0时，f'(x)-f四>0， 所以g(x)>0,故g(x)在(0，+o)上单调递增， 所以9>9>号 即f(2)>2f(1)>4f(月， 即b>a>c.故选B.] 返回 规律方法 金然 1.出现xf'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x): 2.出现f()-nf()形式，构造函数F)=织. 返回 针对练1.设f(x)为定义在R上的奇函数，f(-3)=0.当x>0时， xf'(x)+2f(x)>0,其中f'(x)为f(x)的导函数，则使得f(x)>0成立 的x的取值范围是 A.(-∞，-3)U(0,3) .(-3,0)U(3,+∞) C.(-3,0)U(0,3) D.(-∞，-3)U(3,+∞) 返回 解析：[令g(x)=x2f(x),x∈R, 当x>0时，g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x[xf'(x)+2f(x)]>0, 即g(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为f(x)为R上的奇函数，即f(-x)=-f(x), 于是得g(-x)=(-x)f(-x)=-g(x), 则g(x)是奇函数，g(x)在(-∞，0)上单调递增， 又f(-3)=0, 则g(3)=-g(-3)=-[(-3)2f(-3)]=0, 当x>0时，f(x)>0台g(x)>0=g(3),得x>3, 返回 当x<0时，f(x)>0台g(x)>0=g(-3),得-3<x<0, 综上，得-3<x<0或x>3,所以使f(x)>0成立的x的取值范围是 (-3,0)U(3,+∞).故选B.] 返回 金 角度2利用f(x)与ex构造 例2（多选）已知f(x)是定义在（一∞，+∞）上的函数，导函数f'(x)满足 f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则 A.f(2)<e2f(0) B.f(2)>e2f(0) .e2f(-1)>f(1) D.e2f(-1)<f(1) 解析：[构造F()=f但，则F'G)=eT四=f@, 又导函 e2x er 数f'(x)满足f'(x)<f(x),则F(x)<0,F(x)在R上单调递减，故 >9>但>2，所以f(2)<e2f0),e2f-1)>f().故选Ac.] 返回 规律方法 金城 1.出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x): 2.出现f'x)-nf)形式，构造函数F)=偎. 返回 针对练2.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1, 则不等式fx)>云的解集为(0，+∞) 解析：构造F(x)=f(x)·e2x, 所以F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0, 所以F(x)在R上单调递增，且F(O)=f(0)·e0=1, 不等式f(x)>&可化为fx)e2x>1, 即F(x)>F(0),所以x>0, 所以原不等式的解集为(0，+∞). 返回