第3章 核心专题突破（1） 导数在研究函数中的应用（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第三章 核心专题突破（一） 导数在研究函数中的应用 1 破疑难1：利用导数研究不等式的恒（能）成立问题 对利用导数研究不等式恒成立与有解问题，一般可转化为最值问题处理.若 <m></m> 对 <m></m> 恒成立，则只需 <m></m> ;若 <m></m> 对 <m></m> 恒成立，则只需 <m></m> ；若存在 <m></m> ，使 <m></m> 成立，则只需 <m></m> ；若存在 <m></m> ，使 <m></m> 成立，则只需 <m></m> .由此构造不等式，求解参数的取值范围. 返回 2 技法一 分离参数法求参数范围 讲练型 例1 （2022·石家庄模拟）已知函数 <m></m> . （1）若 <m></m> ,求函数 <m></m> 的图象在点 <m></m> 处的切线方程; 解析：若 <m></m> ，则 <m></m> . 即 <m></m> ，①←-----①求 <m></m> 的导数 则 <m></m> ， 返回 所以所求切线方程为 <m></m> . 3 （2）当 <m></m> 时，函数 <m></m> 恒成立，求实数 <m></m> 的取值范围. ［审题指导］ 解析：由 <m></m> ，得 <m></m> ， 则 <m></m> 对任意的 <m></m> 恒成立可转化为 <m></m> 对任意的 <m></m> 恒 成立.②←-----②处利用分离参数法将问题转化为不等式恒成立问题 设函数 <m></m> ， 返回 4 则 <m></m> .③←-----③处构造函数转化为函数的最值问题 当 <m></m> 时， <m></m> ；当 <m></m> 时， <m></m> ， 所以函数 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，在 <m></m> 上单调递减，所以 <m></m> .④←-----④处求函数的最大值 于是 <m></m> ，解得 <m></m> . 故实数 <m></m> 的取值范围是 <m></m> . 返回 利用分离参数法确定不等式 <m></m> （ <m></m> , <m></m> 为参数）恒成立问题中参数范围的步骤： 1.将参数与变量分离，化为 <m></m> 或 <m></m> 的形式； 2.求 <m></m> 在 <m></m> 时的最大值或最小值； 3.解不等式 <m></m> 或 <m></m> ，得到 <m></m> 的取值范围. 针对练1. 已知函数 <m></m> . （1）若函数 <m></m> 在区间 <m></m> 上存在极值，求正实数 <m></m> 的取值范围; 返回 6 解析：函数的定义域为 <m></m> , <m></m> , 令 <m></m> ，得 <m></m> . 当 <m></m> 时, <m></m> , <m></m> 单调递增； 当 <m></m> 时， <m></m> , <m></m> 单调递减. 所以 <m></m> 为函数 <m></m> 的极大值点，且是唯一极值点，所以 <m></m> , 故 <m></m> ,即实数 <m></m> 的取值范围为 <m></m> . 返回 7 （2）如果当 <m></m> 时，不等式 <m></m> 恒成立，求实数 <m></m> 的取值范围. 解析：当 <m></m> 时，原不等式可化为 <m></m> 恒成立，令 <m></m> , 则 <m></m> . 再令 <m></m> ，则 <m></m> ，所以 <m></m> ,所以 <m></m> , 所以 <m></m> 为增函数，所以 <m></m> ，故 <m></m> ，即实数 <m></m> 的取值 范围是 <m></m> . 返回 8 技法二 分类讨论法求参数范围 例2 已知函数 <m></m> ，其中 <m></m> 为常数. （1）当 <m></m> 时，判断 <m></m> 在区间 <m></m> 内的单调性； 解析：当 <m></m> 时， <m></m> , 所以当 <m></m> 时， <m></m> , 所以 <m></m> 在区间 <m></m> 内单调递增. 返回 9 （2）若对任意 <m></m> ，都有 <m></m> ,求 <m></m> 的取值范围. 解析：当 <m></m> 时，因为 <m></m> , 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ，由（1）知， <m></m> ,于是 <m></m> ,满足题意; 当 <m></m> 时，易知 <m></m> 在区间 <m></m> 内单调递增， 又 <m></m> , <m></m> , 所以 <m></m> 唯一 <m></m> ,使得 <m></m> ，