第1章 培优增分系列（1） 高数探源——柯西不等式（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第一章 培优增分系列（一） 高数探源——柯西不等式 1 柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西 <m></m> 发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学 中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外， 柯西不等式还常用于选择、填空题中求最值的问题，借助柯西不等式的 技巧可以达到事半功倍的效果. 1.（柯西不等式的代数形式）设 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 均为实数，则 <m></m> , 当且仅当 <m></m> 时，等号成立. 推广一般情形：设 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , 返回 2 则 <m></m> , 当且仅当 <m></m> 或存在一个实数 <m></m> ,使得 <m></m> 时，等号成立. 2.（柯西不等式的向量形式）设 <m></m> , <m></m> 为平面上的两个向量， 则 <m></m> ，当且仅当 <m></m> 是零向量,或存在实数 <m></m> ，使 <m></m> 时，等号成立. 返回 3.（柯西不等式的三角形式）设 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 为任意实数，则: <m></m> <m></m> . 返回 4 一、利用柯西不等式求最值 例1 已知 <m></m> , <m></m> 满足 <m></m> ，则 <m></m> 的最小值为___. <m></m> 解析： <m></m> , 所以 <m></m> , 当且仅当 <m></m> 时，即 <m></m> , <m></m> 时，等号成立, 所以 <m></m> 的最小值为 <m></m> . 返回 5 例2 已知正实数 <m></m> , <m></m> , <m></m> 满足 <m></m> ，正实数 <m></m> , <m></m> , <m></m> 满足 <m></m> ，则 <m></m> 的最大值为___. 3 解析： <m></m> , 所以 <m></m> , 当且仅当 <m></m> , <m></m> , <m></m> 时取“ <m></m> ”, 所以 <m></m> 的最大值为3. 返回 6 例3 函数 <m></m> 的最大值为_____. <m></m> 解析： <m></m> ,当且仅当 <m></m> 时等号成立，所以 <m></m> . 返回 7 二、利用柯西不等式证明不等式 例4 已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 为实数，且 <m></m> ， <m></m> ,证明 <m></m> . 证明： 由柯西不等式可得： <m></m> ， 因为 <m></m> , <m></m> , 所以 <m></m> , 因此 <m></m> . 返回 8 例5 已知 <m></m> , <m></m> ， <m></m> , <m></m> 都是实数，求证： <m></m> . 证明：根据柯西不等式，有 <m></m> , 所以 <m></m> . 返回 9 10 $