第7章 第5节 空间向量的概念与运算（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（三十五） 空间向量的概念与运算 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. [2023·贵州遵义期末]在空间直角坐标系 中，与点 关于平面 对称的点为( A ) A. B. C. D. [解析]［因为点 ，则其关于平面 对称的点为 .故选 ．］ 2. [2023·江西上饶期末]如图，设 ， ， ，若 ， ，则 ( A ) A. B. C. D. [解析]［由 ，得 ，由 ，得 ， 所以 .故选 ．］ 3. [2022·江苏泰州期末]在平行六面体 中， ， ， ， ，则 与 所成角的正弦值为( D ) A. B. C. D. [解析] ， ，则 ， ， ， ， ， 所以 ， .故选 . 4. [2022·湖南长郡中学高三阶段练习]已知空间向量 ， ， ， ，则 ( A ) A. B. C. D. [解析]［由题意，空间向量 ， ， ， ， 可得 ，则 .故选 ．］ 5. [2023·河北衡水一中月考]在正方体 中， ， 是侧面 的中心， ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别在线段 ， 上运动，则 的最小值为( C ) A. B. 3 C. D. [解析]［以 为坐标原点， 、 、 方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，由题意， ， ， ， ， 因为点 ， 分别在线段 ， 上运动，所以设 ， ，所以 ， ，所以 ， 所以当 时， ， 所以 的最小值为 .故选 ．］ 6. [2023·福建宁德期末]（多选）已知 ， ， ，则下列结论正确的是( BD ) A. B. C. ， 为钝角 D. 在 方向上的投影向量为 [解析]［因为 ，所以 ， 不垂直， 错；因为 ，所以 ， 对；因为 ， 所以 ， ，所以 ， 不是钝角， 错；因为 在 方向上的投影向量为 ， ， 对.故选 ．］ 7. [2023·福建厦门外国语学校期末]（多选）在棱长为2的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 ， ， ，则下列说法正确的是( ABD ) A. 当 时， B. 当 时，异面直线 与 所成角的余弦值为 C. 三棱锥 的体积的最大值为1 D. 不论 取何值，都有 [解析]［当 时， ， 分别为 ， 的中点，则 ，故 正确； 建立如图所示的空间直角坐标系，当 时，点 ， ， ， ， 则 ， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故 正确； 又 ，所以 ，从而 ，故 错误； 当 取任意值时， ， ， ， ，所以 ， 所以 ，故 正确.故选 ．］ 8. [2022·陕西长安一中期末]如图，已知一个 的二面角的棱上有两点 和 ，且 和 分别是在这两个面内且垂直于 的线段.又知 ， ， ，则 的长为 ． [解析]由向量的线性运算法则，可得 ，因为 ， ， ，且二面角的平面角为 ，可得 ， ， ，且 ， ， 又因为 和 分别是在这两个面内且垂直于 的线段，所以 ， 所以 . 9. [2022·福建泉州期末]在棱长为3的正方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上， ，点 ， 为棱 上的动点.若平面 平面 ， ，则 ． [解析]以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立坐标系，如图所示： 则 ， ， ， ， ，设 ，由 可得 ，设平面 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，即 ， 令 ，则 ；设平面 的一个法向量为 ， ， ，则 ，即 ， 令 ，则 ；因为平面 平面 ，所以 ， 所以 ，即 ，解得 . 10. [2023·天津南开区期中]如图，在正三棱柱 中， ， 、 分别是 、 的中点.设 是线段 上的（包括两个端点）动点，当直线 与 所成角的余弦值为 ，则线段 的长为 ． [解析]如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系： 则 ， ， ，设 ， 则 ， ，设直线 与 所成角为 ， 所以 ，即 ， 解得 或 （舍去），所以 ． ［能力提升练］ 11. [2023·湖北黄石期中]（多选）已知 为正方体 底面 的中心， 为棱 上的动点， ， ， 为 的中点，则下列说法正确的是( AB ) A. 平面 平面 B. 过 ， ， 三点的正方体的截面一定为等腰梯形 C. 与 为异面直线 D. 与 垂直 [解析]［连接 ，易知 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 ，即平面 平面 ，所以 选项正确； 因为 ， ，连接 ，过点 作 交 于点 ，连接 ， .因为 ，所以 .又 ，且根据图形对称性得 ， 所以截面 必为等腰梯形，所以 选项正确； 因为 平面 ， 平面 ，所以 与 共面，所以 选项错误； 以 ， ， 的正方向分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为1，则