第7章 第4节 垂直关系（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（三十四） 垂直关系 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. [2022·四川宜宾三模]已知两条直线 ， 和平面 ，则 的一个充分条件是( C ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 [解析]［对于 ，若 且 ，则 ，故 不符题意；对于 ，若 且 ，则 与 平行或异面，故 不符题意；对于 ，若 且 ，则 ，故 符合题意；对于 ，若 且 ，则 与 平行、相交或异面，故 不符题意.故选 .］ 2. [2022·福建福州模拟]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面与底面所成锐角的余弦值为( C ) A. B. C. D. [解析]［如图，设正四棱锥的底面边长为 ，设 为底面的中心，高为 ，设 为 的中点，则设斜高为 ，连接 ，设侧面与底面所成的锐角为 ，由于 ， ，即 ， 则 ，且 ，由已知条件可得： ，所以 ，所以 ，所以 ，解得： （舍去负值）.故选 .］ 3. [2022·山东威海三模]已知圆柱的高和底面半径均为4， 为上底面圆周的直径，点 是上底面圆周上的一点，且 ， 是圆柱的一条母线，则点 到平面 的距离为( D ) A. 4 B. C. 3 D. [解析]［由题可得 ，因为 ，所以 ，因为 平面 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，则 ，解得 .故选 .］ 4. [2022·北京丰台二模]已知两条不同的直线 ， 与两个不同的平面 ， ，则下列结论中正确的是( B ) A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 [解析]［由两条不同的直线 ， 与两个不同的平面 ， ，知： 对于 ，若 ， ，则 与 平行或 或 与 相交或 ，故 错误； 对于 ，若 ， ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 正确； 对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误； 对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误. 故选 .］ 5. [2022·全国乙卷]在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则( A ) A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 [在正方体 中， 且 平面 ，又 平面 ，所以 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故 正确；对于选项 ，因为平面 平面 ，由选项 知，平面 平面 不成立，故 错误；对于选项 ，由题已知直线 与直线 必相交，故平面 与平面 不平行，故 错误；对于选项 ，连接 ， ，易知平面 平面 ，又平面 与平面 有公共点 ，所以平面 与平面 不平行，即平面 与平面 不平行，故选项 错误.故选 ] 6. [2022·山东青岛二模]（多选）已知正方体 ，动点 在线段 上，则下述正确的是( BD ) A. B. C. 平面 D. 平面 [解析]［对 ，如图，根据正方体的性质有 且 ，故四边形 为平行四边形，故 ，故当且仅当 在 点时才有 ，故 错误；对 ，如图，由正方体的性质可得 ， 平面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，故 平面 ，故 ，同理 ，且 ，故 平面 ，故 ，故 正确；对 ，当 在 点时， ，故 平面 不成立，故 错误；对 ，同 选项有 平面 ，故平面 平面 ，故 平面 成立，故 正确.故选 .］ 7. [2022·湖北武汉模拟]（多选）在正方体 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，则下列说法正确的是( AD ) A. 直线 与直线 垂直 B. 点 与点 到平面 的距离相等 C. 直线 与平面 不平行 D. 过 、 、 三点的平面截正方体的截面为等腰梯形 [解析]［对于 ，连接 、 ． 因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，易知 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，故 正确； 对于 ，设点 与点 到平面 的距离分别为 、 ，正方体棱长为2， 因为 ， 又 ，所以 ，故 错误；对于 ，取 的中点 ，连接 、 、 、 ， 易知 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；易知 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，同理可得 平面 ，因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，故 错误； 对于 ，连接 、 、 ， 由选项 知 ，且 ，故过 、 、 三点的平面截正方体的截面为等腰梯形 ，故 正确.故选 ．］ 8. [2022·广东惠州模拟]如图所示，在四棱锥 中， 底面 ，且底面各边都相等， ， 是 上的一动点，当点 满足 （或 ， 等都可）时，平面 平面 .（只要填写一个你认为正确的条件即可） [解析]可填