第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（三十二） 空间点、直线、平面之间的位置关系 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. [2022·黑龙江齐齐哈尔二模]如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线 与 的位置关系为( D ) A. 相交 B. 平行 C. 异面并且垂直 D. 异面但不垂直 [解析]［将展开图还原成正方体，由下图可知，直线 与 的位置关系是：异面． 连接 ，则 ， 或其补角即为直线 与 的夹角， ，所以直线 与 不垂直.故选 ．］ 2. 如图，在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则下列直线中与直线 相交的是( A ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 [解析]［连接 ， ， ，则 ， ， 由 ， ，可得四边形 为平行四边形，所以 ， ， 所以 ， ，即四边形 为梯形，故直线 与直线 相交，直线 与直线 为异面直线，直线 与直线 为异面直线，直线 与直线 为异面直线.故选 ．］ 3. [2022·河南开封模拟]如图，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( C ) A. B. C. D. [解析]［延长 至 ，使得 ，则 与 平行且相等， 是平行四边形，所以 ，所以 是异面直线 与 所成角或其补角，在正三棱柱 中，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，同理 ，设 ，则 ， ， ， ， ， ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选 ．］ 4. 在底面半径为1的圆柱 中，过旋转轴 作圆柱的轴截面 ，其中母线 ， 是 的中点， 是 的中点，则( D ) A. ， 与 是共面直线 B. ， 与 是共面直线 C. ， 与 是异面直线 D. ， 与 是异面直线 [解析]［由题意，圆柱的轴截面 为边长为2的正方形， 是 的中点， 是 的中点，所以 平面 ， 与平面 相交，且与 无交点，所以 与 是异面直线；又 ， ，所以 ．故选 ．］ 5. [2022·四川内江市三模]如图，在四棱柱 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 、 分别是棱 、 上的动点，且 ，则下列结论中正确的是( D ) A. 直线 与直线 所成角的大小与点 的位置有关 B. 直线 与直线 所成角的最大值为 C. 直线 与直线 可能异面 D. 三棱锥 的体积保持不变 [解析]［由题可知四棱柱 为正四棱柱，如图，由 ， ， ，可得 平面 ，所以 ，与点 的位置无关，故 错误；如图，过点 作 交 于 ，则 为所求角，又 ，则 ，当 最大时， 最小， 最大，可求得 ， ，故 错误；由题易证四边形 为平行四边形，所以直线 与直线 一定相交，故 错误；如图， 为定值，故 正确.故选 ．］ 6. [2022·山东省济南市期中]（多选）如图所示，在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则下列结论正确的是( AD ) A. 直线 与 是异面直线 B. 直线 与 是平行直线 C. 直线 与 所成的角为 D. 平面 截正方体所得的截面面积为 [解析]［直线 与 是异面直线，故 正确；直线 与 是异面直线，故 错误；如下图，由条件可知 ，所以异面直线 与 所成的角为 ，又因为 是等边三角形，所以 ，故 错误； 如下图，连接 、 、 ，因为 ， ，所以 ，又 ，则四边形 是梯形，且四边形 为平面 截正方体所得的截面， ， ， ， ，所以四边形 是等腰梯形，则梯形的高是 ，所以梯形的面积 ，故 正确．故选 ．］ 7. [2022·河北邯郸一模]（多选）如图，在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， ， 分别在 ， 上，且 ，则下列说法正确的是( AD ) A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 直线 ， ， 交于一点 [解析]［因为 ，所以 ． 又 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，且 ，则 ．易知 平面 ， 与 为相交直线，即 正确， ， 错误；因为 为梯形，所以 与 必相交，设交点为 ，所以 平面 ， 平面 ，则 是平面 与平面 的一个交点， 所以 ，即直线 ， ， 交于一点，即 正确.故选 .］ 8. [2022·黑龙江哈尔滨三中模拟]在正四棱锥 中， 为棱 上的点，且 ，设平面 与平面 的交线为 ，则异面直线 与 所成角的正切值为 ． [解析]连接 并延长交 的延长线于点 ，则点 为平面 与平面 的公共点，所以 即为直线 ， 因为 ，所以 或其补角为异面直线 与 所成角，取 的中点 ，连接 ，则 ，设 ，则 ， ， ，所以 ，所以异面直线 与 所成角的正切值为 . 9. [2022·山东日照二模]在棱长为3的正方体 中，已知点 为棱 上靠近点 的三等分点，点 为棱 上一动点.若 为平面 与平面 的公共点，且点 在正方体的表面上，则所有满足条件的点 构成的区域面积为 ． [解