第7章 第1节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（三十一） 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是( D ) A. 底面是矩形 B. 有一个侧面与底面垂直 C. 有一个侧面是矩形 D. 相邻两个侧面是矩形 [解析]［如图所示是一个斜四棱柱：因为底面 是矩形，故 错误；因为侧面 与底面 垂直，故 错误； 侧面 是矩形，故 错误； 当相邻两个侧面是矩形时，则这两个侧面的交线与底面垂直，即得到侧棱与底面垂直，则该棱柱一定是直棱柱，故 正确.故选 2. [2022·福建三明期末]用斜二测画法画 的直观图为如图所示的 ，其中 ， ，则 的面积为( C ) A. 1 B. 2 C. D. [解析]［由题设知， 和 均为等腰直角三角形，所以 ，即 轴，原直角坐标系中， 轴，而 ，则 ，在 中， 边上的高等于 的长，又 ，所以 的面积为 .故选 3. [2022·山东烟台市二模]若圆锥的母线长为2，侧面积为 ，则其体积为( D ) A. B. C. D. [解析]［设圆锥的底面半径为 ，高为 ，则 ，可得 ，则 ，因此，该圆锥的体积为 .故选 ．］ 4. [2022·天津和平三模]已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为( A ) A. B. C. D. [解析]［圆柱的轴截面为正方形，设其外接球为球 ，圆柱的底面半径为 ，则圆柱的高为 ，则球的半径 ，所以圆柱的表面积为： ；球的表面积为 ，则圆柱的表面积与球 的表面积之比为 .故选 ．］ 5. [2022·广东三模]古希腊数学家帕普斯提出著名的蜂窝猜想，认为蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他在《汇编》一书中对蜂房的结构作出精彩的描写“蜂房是由许许多多的正六棱柱组成，一个挨着一个，紧密地排列，没有一点空隙.蜜蜂凭着自己本能的智慧选择了正六边形，因为使用同样多的原材料，正六边形具有最大的面积，从而可贮藏更多的蜂蜜.”某兴趣小组以蜂窝为创意来源，制作了几个棱长均相等的正六棱柱模型，设该正六棱柱的体积为 ，其外接球的体积为 ，则 ( C ) A. B. C. D. [解析]［不妨设正六棱柱的棱长为 ，则 ；其外接球的半径 ，于是 ，则 .故选 6. [2022·湖南师大附中三模]（多选）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽 ，水面高度为2，水槽侧面 上有一个小孔 ，点 到直线 的距离为3，将该水槽绕 倾斜（ 始终在桌面上）至恰有水从小孔 流出，则在倾斜过程中，下列说法正确的有( AB ) A. 有水的部分始终呈四棱柱形 B. 水面始终经过水槽的外接球的球心 C. 水面的面积为定值 D. 到桌面的最小距离为 [解析]［设水面与棱 交于点 ，与棱 交于点 ，与棱 交于点 ，与棱 交于点 ，由四棱柱的定义，几何体 为直四棱柱，故 正确； 水槽绕 倾斜至恰有水从小孔 流出过程中，水的体积不变， ，所以线段 ， 分别恒过正方形 ， 的中心，即水面恒过正方体体心，又因为正方体体心为其外接球球心， 显然正确； 对于 选项：水面的面积 ，由于 不为定值，所以水面面积不为定值，故 错误； 对于 选项：易知水槽绕 倾斜至恰有水从小孔 流出时 到桌面的距离最小，如图， ， ， ， 桌面， 到桌面的距离等于 到桌面的距离 ， ，故 错误．故选 ．］ 7. [2022·山东滨州二模]（多选）在边长为4的正方形 中，如图1所示， ， ， 分别为 ， ， 的中点，分别沿 ， 及 所在直线把 ， 和 折起，使 ， ， 三点重合于点 ，得到三棱锥 ，如图2所示，则下列结论中正确的是( ACD ) A. B. 三棱锥 的体积为4 C. 三棱锥 外接球的表面积为 D. 过点 的平面截三棱锥 的外接球所得截面的面积的取值范围为 [解析]［由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4的长方体，如图所示： 对 ：因为 ， ， ，所以 平面 ，所以 ，故选项 正确；对 ：因为 为 的中点，所以 ，故选项 错误；对 ：三棱锥 的外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径 ，所以三棱锥 外接球的表面积为 ，故选项 正确；对 ：过点 的平面截三棱锥 的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心 的大圆，此时截面圆的面积为 ，最小截面为过点 垂直于球心 与 连线的圆，此时截面圆半径 ，截面圆的面积为 ，所以过点 的平面截三棱锥 的外接球所得截面的面积的取值范围为 ，故选项 正确.故选 ．］ 8. [2020·江苏卷]如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为 ，高为 ，内孔半径为 ，则此六角螺帽毛坯的体积是