第6章 第3节 等比数列（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（三十） 等比数列 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. [2022·江西南昌二模]已知公比不为1的正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 ( A ) A. 3 B. 2 C. D. [解析]［由题知公比不为1且为正，由 ，得 ，整理得 ，所以 .故选 2. [2023·四川宜宾模拟]如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了 个正方形，设这 个正方形的面积之和为 ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]［依题意，从第2个正方形开始，以后每个正方形边长都是相邻前一个的 ，而所有正方形都相似，则从第2个正方形开始，每个正方形面积都是相邻前一个的 ，因此，将各正方形面积依次排成一列可得等比数列 ，其首项 ，公比 ，所以 .故选 3. [2021·全国甲卷]等比数列 的公比为 ，前 项和为 .设甲： ，乙： 是递增数列，则( B ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 [解析]［当 ， 时， ，此时数列 递减，所以甲不是乙的充分条件. 当数列 递增时，有 ，若 ，则 ，即 ；若 ，则 ，不存在，所以甲是乙的必要条件. 综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选 4. [2022·广东佛山三模]已知公比为 的等比数列 的前 项和 ， ，且 ，则 ( C ) A. 48 B. 32 C. 16 D. 8 [解析]［因为公比为 的等比数列 的前 项和 　①， 当 时, ， 当 时, 　②， 得 ， 所以 ，则 ，又 ，所以 ，解得 ， 所以 ，则 .故选 5. [2023·安徽安庆期末]已知函数 ，各项互不相等的等比数列 满足 , ，记 ，则( D ) A. B. C. D. [解析]［由已知 ，即 ，得 ，故 ，又 ， 所以 ，公比 ， ， 当 时， ， ，故 错误； 当 时， ， ， ，故 错误； 当 时， ，所以 偶数项均正，奇数项均负，此时 , ，即 ，故 错误； 由 ， ，可知 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 各项均正，满足 ；当 时， 偶数项均正，奇数项均负，仍满足 ，故 正确.故选 6. [2023·湖南怀化一模]（多选）设 是各项为正数的等比数列， 是其公比， 是其前 项的积，且 , ，则下列选项中成立的是( ABD ) A. B. C. D. 与 均为 的最大值 [解析]［由已知数列各项均为正，因此乘积 也为正，公比 ， 又 , ，故 ， ， 正确； ， ，即 ， 正确； 由 得 ， ，所以 ，而 ， ，因此 ， 错； 由上知 ， 先增后减， 与 均为 的最大值， 正确.故选 7. [2023·湖北武汉模拟]（多选）已知数列 满足 , , 为数列 的前 项和，则下列结论正确的是( BC ) A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 中存在不相等的三项构成等差数列 [解析]［数列 中， ， , ，则 ， ， 因此，数列 是以 为首项，公比为3的等比数列， ， 数列 是以 为首项，公比为3的等比数列， ， 正确； 因为 ， ，则数列 不是等比数列， 不正确； ， 正确； 假定 中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为 , , ，且 ， , , ，则有 ，而 ，即 ，又 ，因此 不成立，所以 中不存在不相等的三项构成等差数列， 不正确.故选 8. [2022·福建厦门模拟]已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 . [解析]由已知条件得 解得 所以 . 9. [2022·衡阳八中模拟]设 为正项等比数列 （公比 ）前 项的积，若 ，则 . [解析]由题意得， ， 所以 ，根据等比数列的性质，可得 ， 设等比数列的公比为 ， 所以 , , 所以 . 10. [2022·上海青浦二模]已知数列 的通项公式为 ，数列 是首项为1，公比为 的等比数列，若 ，其中 ,2, ,10，则公比 的取值范围是 . [解析]由题可知， ,因为 ，即 ，则 ， 又因为 ，即 ，则 ， 因为 ，则 ，又 ,2, ,10,所以 ，则 ， 所以 . ［能力提升练］ 11. [2023·山东德州高三期末]（多选）定义在区间 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为( AC ) A. B. C. D. [解析]［设等比数列 的公比为 . 对于 ，则 ，故 是“保等比数列函数”； 对于 ，则 常数，故 不是“保等比数列函数”； 对