第6章 第1节 数列的概念及函数特性（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（二十八） 数列的概念及函数特性 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式是( A ) A. B. C. D. [解析]［由题意得 ，即 ，所以数列 是以 为首项的常数列，则 ，得 .故选 2. 已知数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和 最小时 的值是( A ) A. 4或5 B. 4 C. 5 D. 5或6 [解析]［令 ，则 ，又 ，所以数列 的前 项和 最小时 的值是4或5.故选 3. [2023·潍坊一模]已知 为数列 的前 项和，且满足 ，则 ( B ) A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 [解析]［因为 ，当 时， ，当 时， .经检验，当 时不符合上式，所以 所以 .故选 4. [2022·重庆三模]已知数列 的前 项和为 ， ，则 ( C ) A. B. 0 C. D. [解析]［当 为奇数时有 ，函数 的周期为8，故有 ， ， ， ， ，按此规律循环重复下去，可知 ， .故选 5. [2022·北京北大附中三模]已知数列 满足 ，其中 ,2,3, ，则数列 ( A ) A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 [解析]［依题意，因为 ，其中 ,2,3, ，当 时， ，当 时， ， ，两式相除有 , ，易得 随着 的增大而减小，故 ，且 ，故最小项为 ，最大项为 .故选 6. [2023·广东肇庆期末]（多选）已知数列 满足 ， 记 ，则( BC ) A. B. C. D. [解析]［由题意可得 , , ，所以 , ，所以 错误， 正确；又 , ，故 ，即 ，所以 为等差数列，故 ，所以 正确， 错误.故选 7. [2023·山东日照期末]（多选）已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 ，则( CD ) A. B. C. D. [解析]［因为 ， ，所以 ， ， ，所以数列 是以3为周期的周期数列，对于 ， ，所以 错误； 对于 ， ，所以 错误；对于 ，因为 ，数列 是以3为周期的周期数列，所以 ，所以 正确；对于 ，因为数列 是以3为周期的周期数列，且 ，所以 ，所以 正确.故选 8. [2023·陕西榆林期末]在前 项和为 的数列 中， ， ，对所有正整数 均有 ，则 1. [解析]由题意有 ，可求得 ， ， ，可得数列 是一个周期为3的数列，且 ，所以 . 9. [2022·北京昌平区模拟]设数列 的前 项和为 ，且 ， ， .请写出一个满足条件的数列 的通项公式 （答案不唯一）. [解析] ， ，则数列 是递增数列， ， ，即 最小， 故 或 所以满足条件的数列 的一个通项公式 （答案不唯一）. 10. [2022·北京质检]已知数列 满足 ，则数列 的通项公式 . [解析]因为 ，所以 ，两式相减，得 ，即 ，当 时， ，适合 ，故 . ［能力提升练］ 11. （多选）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是( AB ) A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前 项和 [解析]［因为 ，所以 ，又 ，所以 是以2为首项，3为公比的等比数列， ，即 ，所以 为递减数列， 的前 项和 .故选 12. [2022·江苏南通期末]如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列 ，则 15， . [解析]因为 ， ， ， ， ， 所以以上 个式子相加，得 ，则 ； 因为 ， 所以 . ［创新拓展练］ 13. [2022·湖南郴州期末]（多选）2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球.有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形.如图，图（n）中每个正六边形的边长是图（n-1）中每个正六边形的边长的 .记图（n）中所有正六边形的边长之和为 ，则下列说法正确的是( BCD ) A. 图（4）中共有294个正六边形 B. C. 是一个递增的等比数列 D. 记 为数列 的前 项和，则对任意的 且 ，都有 [解析]［对于 ，由图可知，图（1）至图（n）中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图（4）中共有 个正六边形， 错误； 对于 ，由题可知，图（n）中每个正六边形的边长为 ，所以 ，所以 ， 正确； 对于 ，因为 是底数大于1的指数型函数，所以 是一个递增的等比数列， 正确； 对于 ，因为 ，所以 ， ，所以 ，当 且 时， ，