第5章 第3节 平面向量的数量积及应用（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（二十六） 平面向量的数量积及应用 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. [2022·全国乙卷]已知向量 , ,则 ( D ) A. 2　 B. 3 C. 4 D. 5 [解析]［由题意知 ,所以 .故选 .］ 2. [2022·山东聊城一模]若向量 , 满足 , , ,则 与 的夹角为( C ) A. 　 B. C. D. [解析]［由题可知， , , ,所以, ，所以向量 与 的夹角为 .故选 .］ 3. [2022·山东德州二模]在平行四边形 中，已知 ， ， ， ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]［在平行四边形 中， ， ，所以 .在 中， ，所以 .在 中， ，所以 ，所以 ，又 ， ，所以 ，所以 .故选 .］ 4. [2022·湖北八校联考]在等腰直角 中， ， ， ， （不与 ， 重合）为 边上的两个动点，且满足 ，则 的取值范围为( C ) A. B. C. D. [解析]［以等腰直角三角形的直角边 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 ，直线 的方程为 .设 ,则 , ,所以 , ,所以 .因为 .所以当 时， 取得最小值 ，又当 或 时， ，所以 ,故 的取值范围为 .故选 .］ 5. 在 中，已知 ，且 ，则 为( A ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 三边均不相等的三角形 [解析]［由 ，得 ， 所以 ,整理得 ，即 ,又 , ，故 .又 ，所以 ，又 ，所以 .所以 是等边三角形.故选 .］ 6. [2022·海南三模]（多选）已知向量 ， ,则( BC ) A. B. C. D. 与 的夹角为 [解析] ; ; ，所以 ;设 与 的夹角为 ，则 ，又 ，所以 ，故选 .］ 7. （多选）已知 外接圆的圆心为 ，半径为2，且 ，则有( ABD ) A. B. C. 点 是 的垂心 D. 在 方向上的投影向量的长度为 [解析]［因为 ，则 ，整理得 .故 正确；因为 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形.又 为 外接圆的圆心，所以 ，且 是边长为2的菱形，且 ， 是正三角形，所以 ，整理得 ，解得 ，故 正确；由以上分析可得 ， 是钝角三角形，故 的外心 不是垂心，故 错误；由以上分析可得 ,所以 在 方向上的投影向量的长度为 ,故 正确，故选 .］ 8. [2022·安徽马鞍山教学质量监测三]已知 , ,若 , ，则点 的坐标 . [解析]设点 ，则 , , .由 ， ，得 解得 所以点 的坐标为 . 9. （易错题）如图，在 中， ， ， 分别是 的三等分点，若 ，则 6. [解析]由题意得， ，所以 ， 所以 . 10. （知识融合）已知 , , 分别为 的三个内角 ， ， 的对边， ， ,且 , 为 内一点，且满足 ，则 . [解析]由已知得 , ,即 ,结合余弦定理可得 .因为 ，所以 为 的重心，取 中点 ，连接 ，易知 ， 在同一直线上，则 ， ,所以 ，由重心的性质得 . ［能力提升练］ 11. [2021·新高考Ⅰ卷]（多选）已知 为坐标原点，点 ， , , ,则( AC ) A. B. C. D. [解析]［由题可知， , ,所以 ,故 正确；取 ,则 ,取 ，则 ，则 , ,则 ,故 错误；因为 , ,所以 ,故 正确；因为 , ，取 ， ，则 , ,所以 ,故 错误.故选 .］ 12. [2020·天津卷]如图，在四边形 中， ， ， ，且 ， ，则实数 的值为 ，若 ， 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为 . [解析]依题意得 ， ，由 ,得 ，因此 .取 的中点 ，连接 （图略），则 ， .注意到线段 在线段 上运动时， 的最小值等于点 到直线 的距离，即 ,因此 的最小值为 ，即 的最小值为 . ［创新拓展练］ 13. [2022·湖南长郡中学模考]（迁移情境）自行车运动是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长为4的等边三角形，设点 为后轮上的一点，则在骑行过程中， 的最大值为( C ) A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 [解析]［法一：在骑行过程中， ， ， ， ， 五点相对不动，只有点 绕点 做圆周运动，如图所示，以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系， 由题意得 ， ， ， ，圆 的方程为 .连接 ，设以 为始边，沿逆时针方向旋转，以 为终边的角为 ，则 , 则 ， , , 易知当 时，