第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（二十五） 平面向量基本定理及坐标表示 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 若向量 , , ,则 可用向量 , 表示为( A ) A. B. C. D. [解析]［设 ，则 , 所以 解得 则 .故选 .］ 2. [2022·河南开封三模]在 中， 为 的中点， ，则 ( D ) A. B. C. D. [解析] .故选 .］ 3. [2022·河北衡水中学质检]已知在 中， ， ， ， 是 内一点，且 ,设 ，则 ( A ) A. B. C. 3 D. [解析]［如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，因为 ，所以设点 . ， , ,所以 .故选 .］ 4. [2022·浙江金华模拟]已知 的三边分别是 , , ，设向量 , ，且 ，则 的大小是( B ) A. B. C. D. [解析]［由 得， ， 由正弦定理得， ，整理得 ,所以 ,所以 .故选 .］ 5. 奔驰定理：已知 是 内的一点， , , 的面积分别是 , , ，则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设 为 内一点，且满足： ，则 ( D ) A. B. C. D. [解析]［因为 ， 所以 ，整理得 . 因为 ,所以可设 , , ，所以 .故选 .］ 6. [2022·山东聊城一中模拟]（多选）在梯形 中， ， , , 分别是 , 的中点， 与 交于点 ，设 , ,则下列结论正确的是( ABD ) A. B. C. D. [解析] ,故 正确； ,故 正确； ,故 错误； ,故 正确.故选 .］ 7. [2022·珠海模拟]（多选）已知向量 ， ， ,若点 ， ， 能构成三角形，则实数 可以是( ABD ) A. B. C. 1 D. [解析]［若 ， ， 三点不共线即可构成三角形.因为 ， .假设 ， ， 三点共线，则 ,即 .所以只要 ， ， ， 三点就可构成三角形，故选 8. 如图，在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，若 ，则 . [解析]法一：以 ， 所在直线分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系，如图所示, 设正方形的边长为1，则 , , , 因为 , 所以 解得 所以 . 法二：由 , ,得 ,又 , 所以 解得 所以 . 9. （易错题）已知 ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则点 的坐标为 . [解析]设 ,由点 在线段 的延长线上，且 ， 则 ，得 , 即 解得 所以点 的坐标为 . 10. [2022·黑龙江齐齐哈尔三模]已知向量 ， ，若 ,且 ,则 的坐标为 或 . [解析]设 ,由题意知， .则 ，且 , 解得 或 即 或 . ［能力提升练］ 11. （多选）如图所示，点 ， ， 是圆 上的三点，线段 与线段 交于圆内一点 ，若 , ,则( AC ) A. 当 为线段 的中点时， B. 当 为线段 的中点时， C. 无论 取何值，恒有 D. 存在 , [解析]［由已知得 ,因为 与 共线，所以 ,解得 ,故 正确， 错误；当 为 中点时，有 ，则 , ,解得 ,故 正确， 错误.故选 12. [2022·安徽江南十校调研]在平面直角坐标系 中，已知点 和点 ，若点 在 的平分线上，且 ，则向量 的坐标为 . [解析]因为点 在 的平分线上， 所以存在 , 使得 , 又 , 所以 , 解得 .故向量 . ［创新拓展练］ 13. （多选）（创新命题形式）如图，在 等腰直角三角形 中， ， ， , 分别为 , 上的动点，设 , ，其中 , ，则下列说法正确的是( ACD ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 与 不共线 C. 若 ，记三角形 的面积为 ，则 的最大值为 D. 若 ,且 , 分别是 , 边的中点，则 的最小值为 [解析]［对于 中，因为 ， ，且 ，可得 ，所以 ，其中 , ，所以 ，即 ，所以 正确；对于 中，当 时， ，可得 与 为共线向量，所以 不正确；对于 中， 的面积为 ，又由 ,可得 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 正确； 对于 中，如图所示，以 为原点，以 , 分别为 , 轴建立直角坐标系，可得 ， ， ，则 ， ，可得 ， ，因为 , 分别是 , 边的中点，所以 ， ，又因为 ，可得点 在单位圆上， ，所以 ，当且仅当 , , 三点共线时等号成立，所以 的最小值为 ，所以 正确.故选 .］ 14. 如图，在直角梯形 中， , , , 为直角， 为 的中点，