第5章 第1节 平面向量的概念与线性运算（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（二十四） 平面向量的概念与线性运算 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 已知 , 是两个非零向量，且 ，则下列说法正确的是( D ) A. B. C. 与 共线反向 D. 存在正实数 ,使 [解析]［因为 , 是两个非零向量，且 ,所以 与 共线同向,故 正确.］ 2. [2022·山西吕梁二模]在 中， , 是 上一点，若 ，则 ( A ) A. B. C. D. [解析]［设 ,则 .又 , 所以 解得 故选 .］ 3. 已知 是 所在平面内的一点，若 ，其中 ，则点 一定在( B ) A. 的内部 B. 边所在直线上 C. 边所在直线上 D. 边所在直线上 [解析]［由 得 , .则 ， 为共线向量，又 ， 有一个公共点 ，所以 ， ， 三点共线，即点 在直线 上.故选 .］ 4. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出大小相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形 ，其中 ，则以下结论错误的是( D ) A. B. C. D. [解析]［对于 ， ，故 正确；对于 ， ，故 正确；对于 ， ，所以 ,故 正确；对于 ， ， ,故 .故 错误.故选 .］ 5. 已知向量 , 不共线，且 , ，若 与 反向共线，则实数 的值为( B ) A. 1 B. C. 1或 D. 或 [解析]［由于 与 反向共线，则存在实数 使 ，于是 ，整理得 .因为 , 不共线，所以 ，且 ，整理得 ，解得 或 ,又因为 ，所以 ，故 .故选 .］ 6. （多选）设 , 是不共线的两个平面向量，已知 ,其中 , .若 , , 三点共线，则角 的值可以为( CD ) A. B. C. D. [解析]［因为 , 是不共线的两个平面向量，所以 .即 ，因为 , , 三点共线，所以 与 共线，所以存在实数 ，使 ，所以 ,所以 解得 .又 ，故 的值可以为 或 .故选 .］ 7. （多选）在平行四边形 中， 是对角线 ， 的交点， 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ，则下列说法正确的是( AC ) A. B. C. D. [解析]［易证 ，又 ， 是线段 的中点，所以 ，所以 ，所以 错误；因为 ，所以 正确；因为 ，所以 正确； 错误.故选 .］ 8. 如图， 在 的内部， 为 的中点，且 ，则 的面积与 的面积的比值为4. [解析]因为 为 的中点，所以 .又因为 ，所以 ，即 为 的中点，所以 ,所以 的面积与 的面积的比值为4. 9. （易错题）在直角梯形 中， ， ， ， ，点 在线段 上，若 ，则 的取值范围是 . [解析]由已知可得， ， ，所以 . 因为点 在线段 上，所以 . 因为 ， 又 , 所以 ,因为 ,所以 . 10. [2022·山东济南模拟]已知单位向量 , , , ,则 的最大值是 ，最小值是0. [解析]当单位向量 , , , 方向相同时， 取得最大值， ； 当单位向量 , , , 首尾相连时， ， 所以 的最小值为0. ［能力提升练］ 11. [2022·湖北武汉模拟]设 为 的边 的中点， 为 内一点，且满足 ，则 ( A ) A. B. C. D. [解析]［因为 为 的边 的中点，所以 ，又因为 为 内一点，且满足 ，所以 ,即 , 即 且 ，因为 , ,所以 .故选 .］ 12. （多选）（知识融合）在 中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足 （ , 为正实数），则下列结论正确的是( BD ) A. 的最小值为16 B. 的最大值为 C. 的最大值为16 D. 的最小值为4 [解析]［因为 为 上一点且满足 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 为 上一点，所以 ， ， 三点共线，则有 ，由基本不等式可得 ，解得 ,当且仅当 时取等号，故 的最大值为 ，故选项 错误，选项 正确； ,当且仅当 时取等号，故 的最小值为4，故选项 错误，选项 正确.故选 .］ ［创新拓展练］ 13. （创新命题形式）已知向量 , , , , , 是线段 上依次从 到 排列的 等分点，若 ,则 1, . [解析]由三点共线知， .由题知 14. 如图所示，在 中， , , 与 相交于点 ，设 , . （1） 试用向量 , 表示 ； [解析]由 , , 三点共线，可设 ，则 ,由 , , 三点共线，可设 ， 则 ,所以 解得 所以 . （2） 过点 作直线 ，分别交线