第7章 培优增分系列（12） 微点突破——空间动态问题突破（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

培优增分系列（十二） 微点突破——空间动态问题突破 一、空间位置关系的判定 典例1（1） [2023·福建省福州期末]已知正四棱柱 中， ， ，点 ， 分别是棱 ， 上的动点，则下列判断错误的是( C ) A. 任意给定的点 ，存在点 ，使得 平面 B. 任意给定的点 ，存在点 ，使得 平面 C. 任意给定的点 ，存在点 ，使得 D. 任意给定的点 ，存在点 ，使得 [解析]连接 、 、 、 ， 选项 ：任意给定的点 ，可在 内作 ，交 于 ，又在正四棱柱 中， ，则 ，又 平面 ， 平面 ， 则 平面 .则任意给定的点 ，存在点 ，使得 平面 .判断正确； 选项 ：任意给定的点 ，可在 内作 ，交 于 ，又正四棱柱 中， ，则 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 .则任意给定的点 ，存在点 ，使得 平面 .判断正确； 以 为原点，分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ，设 ， ，则 ， ， 选项 ：由 ，可得 ；则当 时， ，即 不成立.则任意给定的点 ，不一定存在点 ，使得 .判断错误； 选项 ：由 ，可得 ；则对任意 ，当 时均有 ，即 ；则任意给定的点 ，存在点 ，使得 .判断正确．故选 . （2） [2022·烟台质检]（多选）如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的是( ABD ) A. 平面 平面 B. 平面 C. 异面直线 与 所成的角的范围是 D. 三棱锥 的体积不变 [解析]对于 ，根据正方体的性质，易证 平面 ，又 平面 ， 则平面 平面 ，故 正确； 对于 ，连接 ， （图略），易证明平面 平面 ，又 平面 ， 所以 平面 ，故 正确； 对于 ，当 与线段 的两端点重合时， 与 所成的角取最小值 ，当 与线段 的中点重合时， 与 所成的角取最大值 ，故 与 所成的角的范围是 ，故 错误； 对于 ，因为 ，且点 到平面 的距离不变， 的面积不变，所以三棱锥 的体积不变，故 正确． 解决空间位置关系的动点问题 （1）应用“位置关系定理”转化. （2）建立“坐标系”计算． 学生用书第190页 针对练 [2023·重庆巴蜀中学月考]（多选）如图，在边长为 的正方体 中，点 在底面正方形 内运动，则下列结论正确的是( BD ) A. 存在点 使得 平面 B. 若 ，则动点 的轨迹长度为 C. 若 平面 ，则动点 的轨迹长度为 D. 若 平面 ，则三棱锥 的体积为定值 [解析]［以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 、 、 、 ，设点 ，其中 ， ，设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，即 取 ，则 ， ， 对于 选项，若 平面 ，则 ，则 ，解得 ， ，不合乎题意， 错； 对于 选项，若 ，可得 ，则点 在平面 内的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆的 ，所以，动点 的轨迹长度为 ， 对； 对于 选项，若 平面 ，则 ，则 ， 所以，点 在底面 的轨迹为线段 ，故点 的轨迹长度为 ， 错； 对于 选项，因为平面 平面 ，若 平面 ，则点 的轨迹为线段 ，因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，因为 ，则点 到平面 的距离为定值，又因为 的面积为定值，则 为定值， 对.故选 ．］ 二、轨迹问题 典例2（1） [2022·日照模拟]（多选）如图，已知正方体 的棱长为4， 为 的中点， 为 所在平面内一动点，则下列命题正确的是( ACD ) A. 若 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为圆 B. 若 ，则 的中点 的轨迹所围成图形的面积为 C. 若点 到直线 与到直线 的距离相等，则点 的轨迹为抛物线 D. 若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线 [解析]如图所示，对于 ，根据正方体的性质可知， 平面 ，所以 为 与平面 所成的角，所以 ，所以 ，所以点 的轨迹为以 为圆心，2为半径的圆，故 正确； 对于 ，在 中， ，取 的中点 ，连接 ，因为 为 的中点，所以 ，且 ，因为 ，所以 ，即点 在过点 且与 垂直的平面内，又 ，所以点 的轨迹为以 为半径的圆，其面积为 ，故 不正确； 对于 ，连接 ，因为 平面 ，所以 ，所以点 到直线 的距离为 ，所以点 到点 的距离等于点 到定直线 的距离，又 不在直线 上，所以点 的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，故 正确； 对于 ，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，设 ，则 ， ，因为 与 所成的角为 ，所以 ， ，所以 ，整理得 ，所以点 的轨迹为双曲线，故 正确.故选 . （2） [2023·济南模拟]（多选）如图，已知直四棱柱 的底面是边长为4的正方形， ，点 为 的中点，点 为底面 上