第7章 培优增分系列（11） 微点突破——球的外接与内切问题（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

培优增分系列（十一） 微点突破——球的外接与内切问题 球的切接问题是高考热点之一，基本以选择或填空题出现，求解需要学生较强的空间想象能力、化归与转化能力和准确的计算能力，且题目综合性较强，主要掌握以下几个模型，便能轻而易举的解决；与球切接的多面体分为：①规则的多面体，如长方体，正方体，正三棱柱，正三棱锥，正四面体，有2个面为共斜边的直角三角形的三棱锥，这些特殊的几何体其内切球与外接球的半径与其棱长之间有具体的公式.②不规则的多面体，核心是要定球心求出半径，可以通过定义法定球心、补形法将几何体还原到特殊的几何体中去、方程法求外接球的半径，等体积法求内切球的半径. 一 几何体的外接球问题（球的内接几何体问题） 角度1 构造长方体求解 1.墙角模型 典例1-1 （1） [2022·陕西省宝鸡模拟]已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为( C ) A. B. C. D. [解析]设三条侧棱长分别为 ， ， ，则 , , ，解得 ， ， .把三棱锥补形为长方体，则长方体的体对角线长为 .所以三棱锥的外接球的半径为 ，则三棱锥的外接球的表面积为 .故选 ． （2） 在四面体 中， 平面 ，三内角 ， ， 成等差数列， ， ，则该四面体的外接球的表面积为 ． [解析]由题意得，内角 ， ， 成等差数列，可得 ， 因为 ，可得 ，即 ， 在 中，由余弦定理可得 ,解得 ，所以 ，所以 ，所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径，可得 ，解得 ，所以该四面体的外接球的表面积为 . 如图： 遇到以上三种三棱锥（有三条两两垂直的直线、一条棱与底面垂直）均可构造长方体求解外接球半径 ；长方体的体对角线长即为球的直径. 针对练1 已知四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形， ，若四棱锥 外接球的表面积为 ，则四棱锥 的体积为( D ) A. 3 B. 2 C. D. 1 [解析]［设四棱锥 外接球的半径为 ，则 ，即 .由题意，易知 ，得 ，设 ，得 ，解得 ，所以四棱锥 的体积为 .故选 .］ 针对练2 已知在三棱锥 中， ， ， ， 平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积是( A ) A. B. C. D. [解析]［在 中，由余弦定理得： ，所以 ，所以 外接圆半径 ，又 平面 ，所以三棱锥 的外接球半径 ，则三棱锥 的外接球的表面积 ．故选 ．］ 2.对棱相等的三棱锥模型 典例1-2 （1） 在四面体 中，若 ， ， ，则四面体 的外接球的表面积为( C ) A. B. C. D. [解析]由题意可采用补形法，考虑到四面体 的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方体，并且 ， ， ，则有 （ 为外接球的半径），得 ，所以外接球的表面积为 ．故选 . 学生用书第164页 （2） 在三棱锥 中， ， ，二面角 是钝角.若三棱锥 的体积为2，则 的外接球的表面积是( B ) A. B. C. D. [解析]如图1，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ， ，所以 ，又 ， 所以 ，得 ， 又由 ， ，知 为二面角 的平面角，此角为钝角， 所以 ， 所以 ，因此四面体 可以放置在一个长方体中，四面体 的六条棱是长方体的六个面的对角线，如图2，则此长方体的外接球就是四面体 的外接球，设长方体的棱长分别为 ， ， ，则 ，解得 ，所以外接球的直径为 ， ，球表面积为 .故选 . 若三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等 ，则把三棱锥放在长方体中，那么长方体的体对角线长即为三棱锥外接球的直径. 针对练 三棱锥 ，其中 ， ， ，则该三棱锥外接球的表面积为 . [解析]补形为长方体，那么三棱锥 的六条棱是长方体的六个面的对角线，设长宽高分别为 ， ， ， ，所以 ，则 ，所以 . 角度2 汉堡模型 所谓汉堡模型就是考虑柱体、台体的外接球的问题. 典例1-3 （1） [2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台高为1，上下底边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( A ) A. B. C. D. [解析]设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ， ，所以 ， ，即 ， ，设球心到上下底面的距离分别为 ， ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或 ，即 或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为 ．故选 ． （2） [2022·山东济宁三模]若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为( C ) A. B. C. D. [解析]如图： ， 分别为底面中心， 为 的中