第7章 核心专题突破（3） 向量在立体几何中的应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

核心专题突破（三） 向量在立体几何中的应用 破疑难1 向量法求空间角 以空间几何为载体考查空间角是高考命题的重点，空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求二面角或线面角是高考的热点，主要在解答题中呈现，主要解决的题型与方法：（1）向量法求异面直线所成的角：若异面直线 , 的方向向量分别为 , ，异面直线所成的角为 ，则 , .（2）向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 ，直线的方向向量 ，设线面所成的角为 ，则 , .（3）向量法求二面角：求出二面角 的两个平面 与 的法向量 , ,则平面 与平面 的平面角与向量 和 所成的角相等或互补. 考向一 异面直线所成的角 例1（1） 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，点 为 的中点， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( A ) A. B. C. D. [解析]以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选 ． （2） 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，则异面直线 与 所成的角为( B ) A. B. C. D. [解析]以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， 所以 ， ，所以 ， ，所以 ， .故选 ． 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 1.建立空间直角坐标系； 2.用坐标表示两异面直线的方向向量； 3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； 4.注意两异面直线所成角的范围是 ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 针对练 如图，在正方体 中， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，则异面直线 与 所成的角等于( B ) A. B. C. D. [解析] 取 中点 ，连接 ， . 因为在正方体 中， ， ， 为 ， ， 的中点， 所以 为正三角形， 为 与 所成的角. 所以 .故选 考向二 直线与平面所成的角 例2 [2022·全国甲卷]在四棱锥 中， 底面 , , , ， . （1） 证明： ； 证明：在四边形 中，过点 作 于 ，过点 作 于 ， 因为 , , ， 所以四边形 为等腰梯形，所以 ，故 , , 所以 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 . （2） 求 与平面 所成的角的正弦值． [解析]如图，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系,因为 , 则 ， ， ，则 ， , ， 设平面 的法向量 ， 则有 可取 ， 则 ， ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 ． 学生用书第183页 利用空间向量求线面角的解题步骤 针对练 [2022·全国乙卷]如图，四面体 中， ， ， ， 为 的中点． （1） 证明：平面 平面 ； 证明：因为 ， 为 的中点，所以 ； 在 和 中，因为 ， ， ，所以 ，所以 ，又因为 为 的中点，所以 ； 又因为 ， 平面 ， ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ． （2） 设 ， ，点 在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值． [解析]连接 ，由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 ，当 时， 最小，即 的面积最小.因为 ，所以 ，又因为 ，所以 是等边三角形，因为 为 的中点，所以 ， ， 因为 ，所以 ，在 中， ，所以 ． 以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ，所以 ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 取 ， 则 ，又因为 ， ，所以 ， 所以 ， ，设 与平面 所成的角为 ， 所以 ， 所以 与平面 所成的角的正弦值为 ． 考向三 平面与平面所成的角 例3 [2021·新高考Ⅰ卷]（规范解答）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点． （1）证明： ; ［切入点：线线垂直转化到线面垂直］ （2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积. ［关键点：建系写坐标］ ［审题指导］　（1）由 利用面面垂直性质 线 面 结论 （2）方法一：几何法 先求底面面积 作出二面角 根据二面角求长度 利用锥体体积公式求解 结论 方法二：向量法 建系 设点写坐标 求平面法向量 利用向量夹角求值 利用锥体体积公式求解 结论 [答案] 学生用书第184页 利用空间向量求平面与平面所成角的步骤 针对练 [2022·新高考Ⅱ卷]如图， 是三棱锥 的高, , , 为 的中点． （1） 证明： 平面 ； 证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、