第7章 第5节 空间向量的概念与运算（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第五节 空间向量的概念与运算 ［课程标准］1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4.理解直线的方向向量与平面的法向量．5.能用向量语言表述直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系．6.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些简单定理． 知识分布 落实 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 、 、 零向量 长度为0的向量 单位向量 长度（模）为1的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 的相反向量为 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 （1）共线向量基本定理：空间两个向量 与 共线的充要条件是存在唯一的实数 ，使得 ． （2）如果两个向量 , 不共线，那么向量 与向量 , 共面 存在唯一的有序实数对 ，使得 ． （3）空间向量基本定理：如果向量 ， ， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ， ， ， }叫作空间的一组基． ［微提醒］　空间向量基本定理的三点注意 （1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基．（2）由于 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故 不能作为基．（3）一组基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示． 3.空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量 ， ，在空间中任取一点 ，作 ， ，则 叫作向量 与 的夹角，记作 ， ，其范围是 ， ，若 ， ，则称 与 互相垂直，记作 ． ②两向量的数量积：已知两个空间非零向量 ， ，把 ， 叫作向量 与 的数量积，记作 ，即 ， ． 特殊地： ， ． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律： ． ②交换律： ． ③分配律： ． （3）投影向量与投影数量 ①已知两个非零向量 ， ，在空间任取一个点 ，作 ， ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，称向量 为向量 在向量 方向上的投影向量，其长度等于 ， ． ②若用 表示与向量 同方向的单位向量，则向量 在向量 方向上的投影向量为 ， ．因此，称 ， 为投影向量 的数量，简称为向量 在向量 方向上的投影数量． ［微提醒］　空间向量数量积的运算特别注意： （1） . （2） ． 学生用书第178页 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 ， ． 向量表示 坐标表示 向量和 向量差 数量积 共线 ， ， 垂直 ， 模 夹角余弦 ， ， ， 5.空间位置关系的向量表示 （1）直线的方向向量：设点 ， 是直线 上不重合的任意两点，称 为直线 的方向向量.显然，一条直线有无数个方向向量. （2）平面的法向量：如果一条直线 与一个平面 垂直，那么就把直线 的方向向量 叫作平面 的法向量． （3）空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 ， 的方向向量分别为 ， 直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 平面 ， 的法向量分别为 ， ［微提醒］（1）方向向量和法向量均为非零向量且不唯一． （2）确定平面的法向量的方法 ①直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是该平面的法向量． ②待定系数法：取平面内的两个相交向量 ， ，设平面的法向量为 ，由 解方程组求得． ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 直线的方向向量是唯一确定的.( × ) （2） 若直线 的方向向量和平面 的法向量平行，则 .( × ) （3） 若{ ， ， }是空间的一组基，则 ， ， 中至多有一个零向量.( × ) （4） 若 ，则 ， 是钝角.( × ) 2. （选择性必修第一册P103T3改编）如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点.若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是( A ) A. B. C. D. [解析]［由题意，根据向量运算的几何运算法则， ．故选 .］ 3. （易错题）平面 的法向量为 ， ，那么直线 与平面 的关系是 或 ． [解析]因为 ，所以 ，则 或 ． 4. （多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有( ACD ) A. 若向量 ， 与空