第7章 第4节 垂直关系（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第四节 垂直关系 ［课程标准］1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 知识分布 落实 1.直线与平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义 如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，那么称直线 与平面 垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 2.直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们所成的角是 的角． （2）范围： ． 3.二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角. （2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角． （3）二面角的范围： . 学生用书第174页 4.平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 直线 与平面 内的无数条直线都垂直，则 .( × ) （2） 垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) （3） 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( × ) （4） 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( × ) 2. （易错题）如图，正四棱柱 的底面边长为1， 与底面 成 角，则 到底面 的距离为( D ) A. B. 1 C. D. [解析]［在正四棱柱 中， 平面 ，则 到平面 的距离即为正四棱柱的侧棱长.由 及 ，知侧棱长为 .故选 .］ 3. [2022·新高考Ⅰ卷]（多选）已知正方体 ，则( ABD ) A. 直线 与 所成的角为 B. 直线 与 所成的角为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面 所成的角为 [解析]［如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ， 正确； 连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，因为 ， ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，故 正确； 连接 ，设 ，连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，因为 ， ，所以 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，设正方体棱长为1，则 ， ， ，所以直线 与平面 所成的角为 ，故 错误； 因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故 正确.故选 .］ 4. （必修第二册P235T5改编）在三棱锥 中，点 在平面 上的投影为点 ． （1） 若 ，则点 是 的外心； [解析]如图1，连接 ， ， ， ，在 ， 和 中， ，所以 ，即 为 的外心． 图1 （2） 若 ， ， ，则点 是 的垂心． [解析]如图2，延长 ， ， 分别交 ， ， 于点 ， ， ．因为 ， ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ，即 为 边 上的高. 同理可证 ， 分别为 边 ， 上的高，即 为 的垂心. 图2 巧记结论 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.垂直于同一条直线的两个平面平行. 3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. 4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 即时练1 （多选）下列命题为真命题的是( BCD ) A. 若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合 B. 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 C. 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 D. 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面 [解析]［对于 ，两个相交平面有一条交线，交线有无数个公共点，但是这两个平面不重合，故 错误；对于 ，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是面面垂直的判定定理，故 正确；对于 ，由结论2可知， 正确；对于 ，由结论4可知， 正