第7章 第3节 平行关系（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第三节 平行关系 ［课程标准］1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用． 知识分布 落实 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行 线面平行”） 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 相交 ，那么该直线与交线平行（简记为“线面平行 线线平行”） ［微提醒］　应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可． 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条 相交直线 与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行”） 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 相交 ，那么 两条交线 平行 ［微提醒］　（1）平面与平面平行还有如下判定： ①如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． ②如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． （2）平面与平面平行还有如下性质： ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( × ) （2） 若直线 平面 ， ，则过点 且平行于直线 的直线有无数条.( × ) （3） 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( × ) （4） 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ ) 2. （易错题）设平面 ， ，直线 ， ， ， ，则“ ， ”是“ ”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]［由平面与平面平行的判定定理可知，若直线 ， 是平面 内两条相交直线，且有“ ， ”，则有“ ”；当“ ”，若 ， ，则有“ ， ”，因此“ ， ”是“ ”的必要不充分条件.故选 ．］ 3. （必修第二册P218例4改编）如图，在正方体 中， 为 的中点，则 与平面 的位置关系为平行． [解析]连接 ，则 ，连接 （图略），则 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 学生用书第171页 4. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 为截面，则四边形 的形状为平行四边形． [解析]因为平面 平面 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 .同理 ，所以四边形 是平行四边形． 巧记结论 1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 ， ，则 ． 2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ， ，则 ． 3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即 ， ，则 ． 4.若 ， ，则 ． 5.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 即时练1 如图，平面 平面 ， 所在的平面与 ， 分别交于 ， ，若 ， ， ，则 ． [解析]由题意知 ，所以 ． 即时练2 设 ， ， 为三个不同的平面， ， 为直线，给出下列条件： ， ， ， ； ， ； ， ； ， ， ． 其中能推出 的条件是②④（填上所有正确的序号）． [解析]在条件①或条件③中， 或 与 相交；由 ， ，条件②满足；在④中， ， ，又 ，从而 ，条件④满足． 考点分类 突破 考点一 直线与平面平行的判定与性质 多维型 角度1 直线与平面平行的判定 例1-1 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 分别是 ， 的中点，求证： （1） 平面 ； 证明：如图，连接 交 于 ，连接 ， 因为四边形 是平行四边形，所以 是 的中点， 又因为 是 的中点，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （2） 平面 ． 证明：取 的中点 ，连接 ， .因为 是 的中点， 所以 是 的中位线，所以 ， 因为底面 是平行四边形， 是 的中点，所以 ，所以 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 角度2 直线与平面平行的性 例1-2 [2022·河南、江西五岳联考]如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 为 的中点， 是 上的点． （1） 若 平面 ，证明： 为 的中点； 证明：因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以可设平面 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ， 因为