第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 ［课程标准］1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 知识分布 落实 1.与平面有关的基本事实及推论 （1）与平面有关的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 , , 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 , , （1）确定一个平面； （2）判断两个平面是否重合； （3）证明点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 判断直线在平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ,且 （1）证明“三点共线 ”“三线共点”； （2）确定两平面的交线 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 证明线线平行 两角相等或互补的定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 或 判断或证明两角相等或互补 ［微提醒］　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. （2）基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 确定平面的依据 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 类别 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线与直线 共面 平行 0 相交 1 异面 , 异面 0 直线与平面 直线 在平面 内 无数个，就是直线 上的所有点 直线在平面外 直线 与平面 平行 0 直线 与平面 相交 1 平面与平面 平面 与平面 平行 0 平面 与平面 相交 无数，就是交线 上的所有点 学生用书第167页 ［微提醒］　直线 和平面 相交、直线 和平面 平行统称为直线 在平面 外，记作 ． 3.异面直线所成的角 （1）定义：设 ， 是两条异面直线，经过空间任一点 作直线 ， ，把 与 所成的不大于 的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）． （2）范围： ． （3）如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直． ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 两个平面 ， 有一个公共点 ，就说 ， 相交于过 点的任意一条直线.( × ) （2） 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( √ ) （3） 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( × ) （4） 若直线 不平行于平面 ，且 ，则 内的所有直线与 异面.( × ) 2. （易错题）已知空间中不过同一点的三条直线 ， ， ，则“ ， ， 在同一平面”是“ ， ， 两两相交”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析] 依题意 ， ， 是空间不过同一点的三条直线， 当 ， ， 在同一平面时，可能 ，故不能得出 ， ， 两两相交．当 ， ， 两两相交时，设 ， ， ，根据基本事实2可知 ， 确定一个平面 ，而 ， ，根据基本事实1可知，直线 即 ，所以 ， ， 在同一平面.综上所述，“ ， ， 在同一平面”是“ ， ， 两两相交”的必要不充分条件．故选 3. [2021·全国乙卷]在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为( D ) A. B. C. D. [解析] 如图，连接 ， ， ，因为 ，所以 或其补角为直线 与 所成的角，因为 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，所以 ，设正方体棱长为2，则 ， ， ，所以 .故选 4. （必修第二册P213例1改编）如图，在三棱锥 中， ， ， ， 分别是棱 ， ， ， 的中点，则 （1） 当 ， 满足条件 时，四边形 为菱形； [解析]因为四边形 为菱形，所以 ，因为 ， ，所以 ． （2） 当 ， 满足条件 且 时，四边形 为正方形． [解析]因为四边形 为正方形，所以 且 ，因为 ， ， 所以 且 ． 巧记结论 1.异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2.唯一性定理 （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）过直线外一点有且只有一个