第7章 第1节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第七章 立体几何与空间向量 第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 ［课程标准］1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题．3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图． 知识分布 落实 1.基本立体图形 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ［微提醒］　常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系： （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 ［微提醒］　球的截面的性质：（1）球的任何截面都是圆面；（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；（3）球心到截面的距离 与球的半径 及截面圆的半径 的关系为 . 2.直观图 （1）画法：常用斜二测画法. （2）规则： ①原图形中 轴、 轴、 轴两两垂直，直观图中， 轴、 轴的夹角为 或 ， 轴与 轴和 轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于 轴和 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 学生用书第158页 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 锥体 台体 球 ［微提醒］（1）几何体的侧面积是指（各个）侧面的面积之和，而表面积是侧面积与所有底面的面积之和；（2）圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得 . ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × ) （2） 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.( × ) （3） 菱形的直观图仍是菱形.( × ) （4） 两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( × ) 2. （易错题）如图，长方体 被截去一部分，其中 ， .则剩下的几何体是( C ) A. 棱台　 B. 四棱柱 C. 五棱柱　 D. 六棱柱 [解析]［根据几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.故选 ．］ 3. （必修第二册P205T2改编）如图，梯形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ， ， ，则原图形的面积为( B ) A. B. C. D. [解析]［由题得 ，所以 .故选 ．］ 4. [2022·新高考Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为 ( C ) A. B. C. D. [解析]［依题意可知棱台的高为 ，所以增加的水量即为棱台的体积 .棱台上底面积 ，下底面积 ，所以 ． 故选 ．］ 巧记结论 1.正方体与球的切、接常用结论：正方体的棱长为 ，球的半径为 ， （1）若球为正方体的外接球，则 ； （2）若球为正方体的内切球，则 ； （3）若球与正方体的各棱相切，则 ． 2.长方体的共顶点的三条棱长分别为 ， ， ，外接球的半径为 ，则 ． 3.正四面体的外接球的半径 ，内切球的半径 ，其半径 （ 为该正四面体的棱长）． 4.直观图与原平面图形面积间关系 ． 学生用书第159页 即时练1 [2020·天津卷]若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A. B. C. D. [解析]［设外接球的半径为 ， 易知 ， 所以 ，于是表面积 ，故选 ．］ 即时练2 [2022·益阳调研]如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 的等腰梯形，已知直观图 的面积为4，则该平面图形的面积为( C ) A. B. C. D. [解析]［由 ，得 ．故选 ］ 考点分类 突破 考点一 基本立体图形 自练型与多维型