第6章 培优增分系列（10） 微点突破——放缩法在数列中的应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

培优增分系列（十） 微点突破——放缩法在数列中的应用 数列与不等式交汇是高考命题热点，而用放缩法证明数列不等式又是考查的难点；以数列、不等式为命题载体的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点. 一、放缩法的注意事项以及解题策略 （1）对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能或很难求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列. （2）明确放缩的方向：是放大还是缩小.若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小. （3）放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始. （4）常见的放缩方法：①增加（减少）某些项；②增大（减小）分子（分母）；③增大（减小）被开方数；增大（减小）底数（指数）；④利用不等式的性质或基本不等式；⑤利用函数的单调性等. 二、常见的放缩技巧 （1） . （2） . （3） . （4） ， . 一 先求和再放缩 典例1 [2022·开原三模]给出以下三个条件： , , 成等差数列； ，点 均在函数 的图象上，其中 为常数； .请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解. 设 是一个公比为 ，且 的等比数列，且它的首项 ， . （1） 求数列 的通项公式； [解析]选条件①：因为 , , 成等差数列，所以 ，即 ，解得 （舍）或 ，所以 . 选条件②：由题意得 ，因为 ，所以 ，所以 ， 当 时， ，则 ，当 时， ，符合上式， 所以 . 选条件③：由 ，得 ，即 ，解得 或 ，又因为 ，所以 ，所以 . （2） 令 ，证明：数列 的前 项和 . 学生用书第150页 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 证明：因为 ，所以 ， ， 则 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 . 首先根据题意确定先求和，然后再对所求的和式进行适当的放缩变形或利用数列的单调性求得最值，得到所要的证明结论. 针对练 [2023·天津南开区期末]在等比数列 中，已知 ，且 ， ， 依次是等差数列 的第2项，第5项，第8项. （1） 求数列 和 的通项公式； [解析]设等比数列 的公比为 ，而等差数列 的第2项，第5项，第8项成等差数列，则 ，即 ，解得 ，又 ，于是得 ，显然有 ， ，则等差数列 的公差 ， ，所以数列 和 的通项公式分别是 ， . （2） 设数列 的前 项和为 ， 求证： . 证明：由（1）得， . 所以 ， 所以 . 二 先放缩再求和 典例2 已知数列 满足 ， . （1） 证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； 证明：因为 ，所以 ， 又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ，即 ， 故 . （2） 求证： . 证明：由 ， ，得 ， 当 且 为偶数时， ， 所以 ； 当 且 为奇数时， 为偶数，则 ， 由于 ，则 . 综上， . 通过多角度观察所给数列通项的结构特征，在不好求和的情况下，通常采用添加或舍弃一些项、将分子或分母放大或缩小、利用基本不等式等技巧对通项公式恰当的放缩，然后再求和，从而得到问题的解决. 针对练1 已知数列 的前 项和为 ， ，数列 为等差数列，其前 项和为 ， ， . （1） 求 , ； [解析]由 ，得 ， .上述两式相减得， ，即 ， .故 为等比数列，公比为 .又 ，得 ，故 . 设 的公差为 ，由 ， ,得 ，即 ，故 . （2） 证明：对 ，有 . 证明：由（1）得， ，故 ， 又 ， 得 ， 从而， . 针对练2 [2023·湖南长沙一中月考]已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， . （1） 证明：数列 是等比数列； 证明：因为 ， ，所以当 时， ， 当 时， ，所以 ，即 ， 即 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列. （2） 证明： . 证明：由（1）可得 ， 又 ， ， ，所以 ，所以 ，所以 ， 即 是以 为首项， 为公比的等比数列， 因此 ， 可得 ， 即 ; 由 ，得 ; 当 为奇数时， ，当 为偶数时， ， 所以 . 学生用书第151页 学科网（北京）股份有限公司 $