第6章 核心专题突破（2） 数列中的综合应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

核心专题突破（二） 数列中的综合应用 破疑难1 数列求和 数列求和问题是高考数学解答题中数列重要的命题点，一般在第（2）问呈现，常见题型及解题方法为：（1）公式法求和：等差、等比数列直接用求和公式求和.（2）倒序相加法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和.（3）错位相减法：形如 （其中 为等差数列， 为等比数列）的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和.（4）裂项相消法：将数列的通项分成两项的差，即 的形式，然后抵消中间若干项的求和方法.形如 （其中 是公差 且各项均不为0的等差数列， 为常数）的数列等.（5）分组、并项求和法：分组、并项求和法是解决通项公式可以写成 形式的数列求和问题的方法，其中 与 是等差（比）数列或一些可以直接求和的数列. 技法一 分组转化法求和 例1 [2021·新高考Ⅰ卷]已知数列 满足 ， （1） 记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式； [解析]因为 ，且 ， 所以 ， ． 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以数列 是以2为首项，3为公差的等差数列， ， ． （2） 求 的前20项和． [解析]因为 所以 时， ， 即 ，① ，② ， 即 ，③ 得 ，即 ， 所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 得 ，即 ， 又 ，所以数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 所以数列 的前20项和 ． 1.若数列 的通项公式为 ，且 ， 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列 的前 项和． 2.若数列 的通项公式为 其中数列 ， 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求 的前 项和． 3.如果 ，求 的前 项和时，可采用并项求和法求解． 针对练 [2020·新高考Ⅰ卷]已知公比大于1的等比数列 满足 ， . （1） 求 的通项公式; [解析]设 的公比为 .由题设得 , ，解得 （舍去）, .所以 . 所以 的通项公式为 . （2） 记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前100项和 . [解析]由题设及（1）知 ,且当 时， . 所以 . 技法二 裂项相消法求和 例2 [2023·江苏扬州中学模拟]已知正项递增的等比数列 满足 ， . （1） 求 的通项公式； [解析]设等比数列 的公比为 ，因为数列 为正项递增等比数列，所以 ， 又因为 ， ，所以 解得 或 （舍）； 所以等比数列 的通项公式为 . （2） 设 ， 的前 项和为 ，求 . [解析]由（1）知 ，所以 ， 所以 . 所以 的前 项和 . 学生用书第152页 裂项相消法求数列 的前 项和的基本步骤 针对练 [2023·浙江宁波期末]设数列 的前 项和为 ，正项数列 的前 项和为 ， 且 . （1） 求 和 ； [解析]当 时， ，解得 ，当 时， ，则 ，故 为等比数列， ； 当 时， ，解得 ，当 时， ， 整理得： ，而数列 是正项数列，则 ，故 是等差数列，即 ，所以 ， . （2） 记 ， ，求证： . 证明：由（1）知， , ， ， 所以 ，所以原不等式成立. 技法三 错位相减法求和 例3 [2021·全国乙卷]（规范解答）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 .已知 ， ， 成等差数列． （1） 求 和 的通项公式； ［切入点：设基本量 （2） 记 和 分别为 和 的前 项和. 证明： ［关键点： ［审题指导］ 列方程 解方程 公式求和 错位相减求和 作差比较大小 结论 学生用书第153页 错位相减求和方法 1.适用条件：若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列 的前 项和 . 2.基本步骤 3.注意事项 （1）在写出 与 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 ； （2）作差后，等式右边由第一项、中间 项的和式、最后一项三部分组成； （3）运算时，经常把 这 项和看成 项和，把 写成 导致错误. 针对练 [2022·天津卷]设 是等差数列， 是等比数列， . （1） 求 与 的通项公式； [解析]设 的公差为 ， 的公比为 ，则 , ，由 ，可得 舍去），所以 , . （2） 设 的前 项和为 ，求证: ； 证明：因为 ,所以要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，而 显然成立，所以 . （3） 求 . [解析]因为 ， 所以 ，设 ，所以 ，则 ，作差得 ，所以 ，所以 . 专项强化 1. 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，已知 ， ， ． （1） 求数列 ， 的通项公式； [解析]因为 ，所以 ，又 ，所以 ． 又 ，所以 ． 因为 ，所以 ， ． （2） 记 ，求数列 的前 项和 ． [解析] ． 所以 ． 2. [2022·