第6章 第3节 等比数列（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第三节 等比数列 ［课程标准］1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列的前 项和公式，理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系.3.体会等比数列与指数函数的关系. 知识分布 落实 1.等比数列的概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母 表示 . 数学语言表达式： （ ， 为非零常数）. （2）如果在 与 之间插入一个数 ，使得 ， ， 成等比数列，那么根据等比数列的定义， ， ， ，我们称 为 ， 的等比中项. ［微提醒］　只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. 2.等比数列的通项公式及前 项和公式 （1）通项公式：若首项是 ，公比是 ，则等比数列 的通项公式为 .通项公式的推广： . （2）前 项和公式： 3.等比数列的性质 已知 是等比数列， 是数列 的前 项和. （1）若 ，则有 . （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ， 仍是等比数列，公比为 . （3）当 ，或 且 为奇数时， ， ， ， 仍成等比数列，其公比为 . ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 等比数列的公比 是一个常数，它可以是任意实数. ( × ) [解析]在等比数列中， . （2） 三个数 ， ， 成等比数列的充要条件是 . ( × ) [解析]若 ， ， 满足 ，但 ， ， 不成等比数列. （3） 数列 的通项公式是 ，则其前 项和为 . ( × ) [解析]当 时， . （4） 数列 为等比数列，则 ， ， 成等比数列. ( × ) [解析]若 ， ，则 ， ， ，不成等比数列. 2. （选择性必修第二册P25T1改编）已知 是等比数列， ， ，则公比 等于( D ) A. B. C. 2 D. [解析]［设等比数列的公比为 ，因为 是等比数列， ， ，所以 ，所以 ，所以 .故选 3. [2022·全国乙卷]已知等比数列 的前3项和为168， ，则 ( D ) A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 [解析]［设等比数列 的公比为 , ，若 ，则 ，与题意矛盾，所以 ，则 解得 所以 .故选 .] 4. （易错题）已知在等比数列 中， ，前三项之和 ，则公比 的值是1或 . [解析]当 时， ， ，符合题意； 当 时，由 得 .综上， 的值是1或 . 巧记结论 1.若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数列. 2. 为等比数列，若 ，则 ， ， ， 成等比数列. 3.若 或 则等比数列 递增； 若 或 则等比数列 递减； 若 ，则等比数列 为常数列. 学生用书第145页 4.当 ， 时， 是 成等比数列的充要条件，此时 . 即时练1 公比不为1的等比数列 满足 ，若 ，则 的值为( C ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 [解析]［因为 为等比数列，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为 ，所以 .故选 即时练2 [2023·山东莱芜一中期末]（多选）已知数列 是等比数列，则下列结论中正确的是( AC ) A. 数列 是等比数列 B. 若 ， ，则 C. 若 ，则数列 是递增数列 D. 若数列 的前 和 ，则 [解析]［由数列 是等比数列，设公比为 . 在 中，因为 ， 所以 是常数，所以数列 是等比数列，故 正确； 在 中，若 ， ，则 ，故 错误； 在 中，若 ，则 . 当 时，可得 ，解得 ，且 中各项为正数，所以 ，此时数列 是递增数列； 当 时，可得 ，解得 ，此时 中各项为负数，所以 ，此时数列 是递增数列.综上所述， 正确； 在 中，若数列 的前 和 ，由结论4得到 ，故 错误.故选 考点分类 突破 考点一 等比数列的基本运算 自练型 1. [2023·湖南七市联考]已知等比数列 中， ， ，则 ( B ) A. 1 B. 2 C. D. [解析]［等比数列 中， ， ， 则 解得 故选 2. [2020·全国Ⅱ卷]记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]［设等比数列 的公比为 ，则由 解得 所以 ， ，所以 .故选 3. [2023·江西瑞金一中月考]数列 中， ， ，若 ，则 ( C ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 [解析]［在等式 中，令 ，可得 ，所以 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，则 ， 所以 ， 所以 ，则 ，解得 .故选 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 ， ， ， ， ，一般可以“知三求二