第6章 第2节 等差数列（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第二节 等差数列 ［课程标准］1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 知识分布 落实 1.等差数列的概念 （1）定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列. 数学语言表达式： （ ， 为常数）. ［微提醒］　等差数列 中，当公差 时， 是递增数列；当 时， 是递减数列；当 时， 是常数列. （2）等差中项：如果在 与 之间插入一个数 ，使 ， ， 成等差数列，那么 叫作 与 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道， . ［微提醒］　在等差数列 中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即 成等差数列 2.等差数列的通项公式与前 项和公式 （1）通项公式：首项为 ，公差为 的等差数列 的通项公式是 . （2）前 项和公式： . ［微提醒］　当 时， 是关于 的一次函数模型. 是关于 的二次函数模型，且没有常数项. 3.等差数列的性质 （1）通项公式的推广： . （2）若 为等差数列，且 ，则 . （3）若 是等差数列，公差为 ，则 ， ， ， 是公差为 的等差数列. （4）若 为等差数列 的前 项和，则数列 ， ， ， 也是等差数列. （5）若 为等差数列 的前 项和，则数列 也为等差数列. ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 数列 为等差数列的充要条件是对任意 ，都有 .( √ ) （2） 等差数列 的单调性是由公差 决定的.( √ ) （3） 数列 为等差数列的充要条件是其通项公式为 的一次函数.( × ) （4） 等差数列的前 项和公式是常数项为0且关于 的二次函数.( × ) 2. 已知等差数列 中， ，前5项和 ，则数列 的公差为( A ) A. B. C. D. [解析]［设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 .故选 ］ 3. （易错题）首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差 的取值范围是( D ) A. B. C. D. [解析]［由题意得 .因为 从第10项开始为负数，所以 解得 ，所以公差 的取值范围是 .故选 ］ 4. [2022·全国乙卷]记 为等差数列 的前 项和.若 ，则公差 2. [解析]由 可得 ，化简得 ，即 ，解得 . 巧记结论 已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和. （1）通项公式的推广： . 学生用书第141页 （2）在等差数列 中，当 时， .特别地，若 ，则 . （3） ， ， ， 仍是等差数列，公差为 . （4） ， ， ， 也成等差数列，公差为 . （5）若 ， 是等差数列，则 也是等差数列. （6）若 是等差数列，则 也成等差数列，其首项与 首项相同，公差是 公差的 . （7）若项数为偶数 ，则 ； ； . （8）若项数为奇数 ，则 ； ； . 即时练1 [2023·杭州二模]已知 是等差数列，满足 ，则该数列的前8项和为( D ) A. 36 B. 24 C. 16 D. 12 [解析]［由等差数列性质可得 ， ，所以 ，即 ，所以 .故选 ］ 即时练2 在等差数列 中，其前 项和为 ，若 ，则 ( D ) A. B. C. D. [解析]［设 ,则 ， 因为数列 为等差数列，所以 ， ， ， 成等差数列，即 ， , , 成等差数列， 所以 ,所以 , 所以 ,所以 ,所以 .故选 ］ 考点分类 突破 考点一 等差数列基本量的运算 自练型 1. [2021·北京卷] 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 ( B ) A. 64 B. 128 C. 256 D. 512 [解析]［由已知条件可得 ，则 ，因此 .故选 ］ 2. （多选）记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则下列选项正确的是( ABC ) A. B. C. D. [解析] ，所以 ， 正确； ， ，② 联立①②得 所以 ， 正确， 错误； ， 正确.故选 3. [2021·新高考Ⅱ卷]记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 , . （1） 求数列 的通项公式； [解析]由等差数列的性质，可得 ，则 ,所以 ， 设等差数列的公差为 ，从而有 ， ， 则 ，由于公差不为零，故 ， 所以数列的通项公式为 . （2） 求使 成立的 的最小值. [解析]由数列的通项公式可得： ，则 ， 则不等式 ，即 ， 整理可得 ，解得 或 ， 又 为正整数，故 的最小值为7.