第6章 第1节 数列的概念及函数特性（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第六章 数列 第一节 数列的概念及函数特性 ［课程标准］1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 知识分布 落实 1.数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 ［微提醒］　数列可以看作一个关于 的函数，除了具有单调性外，若 （ 是非零常数），则 为周期数列， 为 的一个周期. 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法. 4.数列的通项公式 如果数列 的第 项 与 之间的函数关系可以用一个式子表示成 ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式. ［微提醒］（1）并不是所有的数列都有通项公式；（2）同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. 5.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式. ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列. ( × ) （2） 1，1，1，1， ，不能构成一个数列. ( × ) （3） 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列. ( × ) （4） 如果数列 的前 项和为 ，则对任意 ，都有 . ( √ ) 2. （选择性必修第二册P4T3改编）数列 的前几项为 ， ， ， ， ， ，则此数列的通项公式可能是( A ) A. B. C. D. [解析]［数列为 ， ， ， ， ， ，其分母为2，分子可表示为 ，因此通项公式可能为 .故选 3. （易错题）已知数列 的前 项和为 ，则 的通项公式为 . [解析]当 时， ，当 时， ，又 不适合上式， 所以 4. [2022·湘豫名校联考]已知数列 满足：对任意 ， ，都有 ，且 ，那么 ( D ) A. B. C. D. [解析]［由 ， ，得 .故选 学生用书第137页 巧记结论 1.已知数列 的前 项和为 ，则 2.在数列 中，若 最大，则 ；若 最小，则 . 即时练1 [2022·天津模拟]（多选）在数列 中， ，则数列 中的最大项可以是( AB ) A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 [解析]［由结论2可得 且 ，所以 即 ，所以最大项为第6项和第7项.故选 即时练2 已知数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式 . [解析]当 时， ， 当 时， ， 因为 也适合上式，所以 . 考点分类 突破 考点一 由 与 的关系求通项公式 自练型 1. [2022·北京平谷期末]已知数列 中，前 项和 满足 ，则 ( C ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 [解析]［由 ，得 ，则 ； ，则 ； ，则 .故选 2. （多选）设 是数列 的前 项和，且 ， ，则下列结论正确的是( BCD ) A. B. C. D. 数列 是等差数列 [解析]［因为 ，两边同除以 ，得 ， ， 所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，即 ， 所以 . 当 时， ，又 不符合上式， 所以 故选 3. [2022·福州质检]已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 . [解析]因为 ，① 所以当 时， ，② 得， ，所以 ； 又因为 也适合上式，所以 . 1.已知 求 的3个步骤 （1）先利用 求出 ； （2）用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 即可求出当 时 的表达式； （3）注意检验 时的表达式是否可以与 时的表达式合并. 2. 与 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. 方向1：利用 转化为只含 ， 的关系式，再求解. 方向2：利用 转化为只含 ， 的关系式，再求解. 考点二 由数列的递推关系求通项公式 讲练型 例1 [2023·重庆模拟]在数列 中， ， ，则通项公式 . [解析]因为 ,所以当 时， , ， ， ，所以以上各式相加得， ，所以 ， 适合上式，所以 . ［变式探究］ 1. （变条件）若数列 满足 ， ，则 . [解析]（1）由 ，得 . 所以 , 又 满足上式，所以 . 2. （变条件）设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ，则数列 的通项公式 . [解析]因为 ，所以 . 因此 ，因为 ， ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列.所以 ， . 当 时， ， 也满足此式，所以 . 学生用书第138页 由数列的递推关系求通项公式的常用方法