第5章 培优增分系列（8） 高数探源——极化恒等式的应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

培优增分系列（八） 高数探源——极化恒等式的应用 极化恒等式： . （1）极化恒等式的几何意义是：设点 是 边 的中点，则 ，即向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差. （2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合. （3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 一、求值 典例1 在 中， 是 的中点， ， ，则 . [解析]如图所示，由极化恒等式，易得 . 二、求最值或取值范围 典例2 [2022·山东济宁一模]等边三角形 的外接圆的半径为2，点 是该圆上的动点，则 的最大值为( C ) A. 4 B. 7 C. 8 D. 11 [解析]［因为 为等边三角形，其外接圆的半径为2，所以以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图：则 ， ， ，易知 轴，交 轴于 点，取 的中点为 ，连接 ， ， ， ， . 所以 .由极化恒等式得， .其中 ， ，所以 ，所以 .故选 针对练1 [2022·陕西榆林三模]窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形 的边长为4，圆 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点 在正六边形的边上运动， 为圆 的直径，则 的取值范围是( C ) A. 　 B. 　 C. D. [解析]［连接 （图略），由极化恒等式得， .又 ，所以 ， ，所以 .故选 .］ 针对练2 已知 , 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是( C ) A. 1 B. 2 C. D. [解析]［如图所示，设 ，记 ， ， ， 为 的中点，由极化恒等式有 ， 所以 ， 可知 是有固定起点，固定模长的动向量.点 的轨迹是以 为直径的圆，且点 也在此圆上，所以 的最大值为圆的直径长，即为 .故选 .］ 针对练3 已知 为圆 的一条直径，点 为直线 上任意一点，则 的最小值是1. [解析]如图所示，由极化恒等式易知，当 垂直于直线 时， 有最小值，即 . 针对练4 [2022·长沙长郡中学一模]在边长为3的正方形 中，以点 为圆心作单位圆，分别交 ， 于 ， 两点，点 是劣弧 上一点，则 的取值范围为 . [解析]法一：连接 ，设 为 的中点，连接 （图略），由极化恒等式得， .由已知得， . .在 中，由余弦定理得， ,即 ，所以 ，即 . 法二：根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知 ， ， ， .设点 ， 则 .又 ，所以 ，所以 ,所以 ,即 的取值范围为 . 学生用书第132页 学科网（北京）股份有限公司 $