第5章 第4节 复数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第四节 复数 ［课程标准］1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的条件.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 知识分布 落实 1.复数的概念 （1）复数的定义：形如 （其中 , ）的数叫作复数，通常用字母 表示，即 ，其中 称为复数 的实部， 称为复数 的虚部， 叫作虚数单位. （2）复数的分类：复数 （3）复数相等： 且 . （4）共轭复数： 与 互为共轭复数 , . （5）复数的模：向量 的模称为复数 的模，记作 或 ,即 . ［微提醒］（1）虚数不能比较大小.（2）复数集包含实数集与虚数集. 2.复数的几何意义 ［微提醒］　复数 的对应点的坐标为 ,而不是 . 3.复数的四则运算 （1）复数的运算法则 设 , ,则 ①加法： . ②减法： . ③乘法： . ④除法： . （2）复数的运算律 ①复数的加法运算律：结合律： ;交换律： . ②复数的乘法运算律： 交换律： ; 结合律： ; 乘法对加法的分配律： . （3）复数加减的几何意义 复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即 ， . ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 方程 没有解. ( × ) （2） 复数 中，虚部为 . ( × ) （3） 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小. ( × ) 学生用书第133页 （4） 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( √ ) 2. （必修第二册P167习题 改编）若 ,复数 是纯虚数，则( B ) A. 且 　 B. C. 　 D. 或 [解析]［因为 是纯虚数，所以 解得 .故选 .］ 3. （必修第二册P167例4改编）已知 是 的共轭复数，则 ( D ) A. 　 B. C. D. 1 [解析] ,所以 , ,所以 .故选 .］ 4. （易错题）设 是虚数单位，若 ,且其对应的点位于复平面内的第二象限，则 位于( B ) A. 第一象限　 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析]［法一：因为 对应的点的坐标为 ,且点 位于第二象限，所以 所以 位于第二象限，故选 . 法二：取 时，满足 即复数 对应的点 位于第二象限，满足题意，而该角在第二象限.故选 .］ 巧记结论 1.复数代数运算中常用的几个结论 （1） ； ； . （2） . （3） ； ； ； ; , . （4） ； ; ; . （5） . 2.复数 的方程或不等式在复平面上表示的图形 （1） 表示以原点 为圆心，以 和 为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界. （2） 表示以 为圆心， 为半径的圆. 即时练1 [2022·山东潍坊质检]已知 ,则 ( D ) A. 　 B. C. 　 D. 1 [解析]［法一：由结论 知， ,则 .故选 . 法二：由结论 知， .故选 .］ 即时练2 [2019·全国Ⅰ卷]设复数 满足 , 在复平面内对应的点为 ,则( C ) A. 　 B. C. D. [解析]［由结论 知， 表示以 为圆心，1为半径的圆，所以 .故选 .］ 即时练3 [2020·全国Ⅱ卷]设复数 , 满足 , ,则 . [解析]由结论 知， ,所以 ，即 . 考点分类 突破 考点一 复数的概念 自练型 1. [2022·山东淄博一模]若复数 的实部与虚部相等，则实数 的值为( A ) A. B. C. 1 D. 3 [解析] ， 因为复数 的实部与虚部相等，所以 ,解得 ，故实数 的值为 .故选 .］ 2. [2022·全国乙卷]已知 ,且 ,其中 , 为实数，则( A ) A. , B. , C. , D. , [解析]［由题意知 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 解得 故选 .］ 3. [2022·北京卷]若复数 满足 ,则 ( B ) A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 [解析]［由 可知， ,故 .故选 .］ 4. [2022·山东潍坊二模]（多选）若复数 , ,其中 是虚数单位，则下列说法正确的是( BCD ) A. B. C. 若 是纯虚数，则 D. 若 , 在复平面内对应的向量分别为 ， （ 为坐标原点），则 [解析]［对于 ， ,故 错；对于 ， ,所以 ,又 ,所以 ,故 正确；对于 ，因为 为纯虚数，所以 , ,故 正确；对于 ，在复平面内， 对应的点为 ， 对应的点为 ，所以 ， ，故 正确.故选 .］ 学生用书第134页 解决复数概念问题的方法及注意