第5章 第3节 平面向量的数量积及应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第三节 平面向量的数量积及应用 ［课程标准］1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他一些实际问题. 知识分布 落实 1.向量的数量积 （1）向量的数量积的定义：已知两个非零向量 和 ，作 ， ,向量 与 的夹角 记为 或 ， 称为 与 的数量积（或内积），记作 ,即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 . （2）投影 ①如图，设 , 是两个非零向量，作 , ,过点 向直线 作垂线，垂足为 ，得到 在 上的投影 , 称为投影向量. ② ,称为投影向量 的数量，也称为向量 在向量 方向上的投影数量，可以表示为 . ③数量积 的几何意义： 的长度 与 在 方向上的投影数量 的乘积；或 的长度 与 在 方向上的投影数量 的乘积. （3）数量积的运算性质 ①数量积的运算律 对任意的向量 , , 和实数 交换律： ; 与数乘的结合律： ; 关于加法的分配律： . ②数量积的性质 若 是单位向量，则 ; 若 , 是非零向量，则 ; ,即 ; ; ,当且仅当 时等号成立. ［微提醒］　 是对非零向量而言的，若 ，虽然 ,但不能说 . 2.向量数量积的坐标表示 已知两个向量 , , , 的夹角为 ，则 （1）数量积： . （2）模：① ,或 . ②若 , , 则 . （3）夹角： . （4）垂直： . ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) （2） 向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量.( × ) （3） 由 可得 或 .( × ) （4） .( × ) 2. （必修第二册P103例2改编）在 中, , ,则向量 在向量 上的投影向量为( A ) A. B. C. D. [解析]［取点 为 的中点，根据题意作图， 因为 ， ， 所以 在 上的投影向量为 .故选 .］ 3. （必修第二册P106例8改编）若 , 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为( C ) A. B. C. D. [解析]［因为 ,所以 . , 所以 , 又 , 所以 与 的夹角为 .故选 .］ 学生用书第127页 4. （易错题）设 为实数，已知直角三角形 中， ， ，则 或 或 . [解析]若 ，则 ,于是 ，解得 ;若 ，则 ,又 ,于是 ，解得 ； 若 ，则 ，于是 ， 解得 . 5. [2022·山东潍坊一模]（多选）已知向量 ，将 绕原点 旋转 ， ， 到 , , 的位置，则( ABC ) A. B. C. D. 点 坐标为 [解析]［根据题意得 与 的夹角为 ，故 ,故 正确；连接 , ,因为 ,所以 ,即 ,故 正确；因为， , , ，所以 ,故 正确；若点 的坐标为 ，则 ,故 不正确.故选 .］ 巧记结论 1.平面向量数量积运算的常用公式 （1） . （2） . （3）求平面向量的模的公式 ① 或 ; ② ; ③若 ,则 ; ④ . 2.有关向量夹角的两个结论 已知向量 , ,则 （1）若 与 的夹角为锐角，则 ;若 ,则 与 的夹角为锐角或0. （2）若 与 的夹角为钝角，则 ;若 ,则 与 的夹角为钝角或 . 3.两个模型 （1）三角形模型 在 中， 为 的中点， . （2）平行四边形模型 在平行四边形 中， . 即时练1 已知平面向量 , 满足 , , ,则 ( B ) A. 0 B. C. 4 D. 8 [解析]［因为 , , ，由结论1可得 .故选 .］ 即时练2 [2022·广东佛山质检]已知 , 为非零向量，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]［由结论2知，选 .］ 即时练3 [2021·新高考Ⅱ卷]已知向量 , , , . [解析]由已知可得 ,因此， . 考点分类 突破 考点一 平面向量数量积的运算 自练型 1. [2022·全国乙卷]已知向量 , 满足 , , ,则 ( C ) A. B. C. 1 D. 2 [解析]［由 ，可得 ,又 , ,所以 .故选 .］ 2. [2022·全国甲卷]设向量 , 的夹角的余弦值为 ，且 , ,则 11. [解析]根据题意，得 3. [2022·广东汕头一模]已知四边形 中， ， ， ，点 是 的中点，则