第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第二节 平面向量基本定理及坐标表示 ［课程标准］1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件. 知识分布 落实 1.平面向量基本定理 条件 和 是同一平面内两个不共线的向量 结论 对该平面内任意一个向量 ，存在唯一的一对实数 , ，使 基 把不共线的向量 和 叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为 正交基正交分解及标准正交基 （1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基 （2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解 （3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基 ［微提醒］（1）基 , 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基. （2）基给定，同一向量的分解形式唯一. （3）如果对于一组基 , ,有 ，则可以得到 2.平面向量及运算的坐标表示 （1）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 , 作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量 ，以坐标原点 为起点作 .由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数 , ,使 .因此 .把 称为向量 在标准正交基{ , }下的坐标，向量 可以表示为 . （2）平面向量运算的坐标表示 ①向量加法、减法、数乘运算 设 , ，则 , ， . ②向量坐标的求法 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. 设 , , 则 . （3）平面向量平行的坐标表示 设 ， ，向量 , 共线的充要条件是 . ［微提醒］（1）当且仅当 时， 与 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. （2）设 , ，则 存在不全为零的 , ，使 ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 平面内的任何两个向量都可以作为一组基. ( × ) （2） 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( √ ) （3） 若 , ，则 的充要条件可表示成 . ( × ) （4） 若 ， 不共线,且 ，则 , . ( √ ) 2. （必修第二册P100习题B组 改编）已知向量 ， ，若 与 共线，则 ( A ) A. B. C. D. 2 [解析]［由向量 ， ， 得 , 由 与 共线， 得 ， 所以 .故选 .］ 3. （必修第二册P95例2改编）在 中，点 , 满足 ， .若 ，则 , . [解析] .由平面向量基本定理得 , . 4. （易错题）给出下列三个向量： ， , ，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基的组数为2. [解析]易知 , 与 不共线， 与 不共线， 所以能构成基的组数为2. 学生用书第124页 巧记结论 1.向量共线的充要条件的两种形式 （1） . （2） （其中 , ）. 2.三点共线的充要条件 ， , 三点共线的充要条件为 . 3.已知 为线段 的中点，若 ， ，则 点坐标为 . 4.已知 的顶点 , , ， 的重心为 . 即时练1 [2022·山东临沂一模]设向量 , ，若 ,则 ( D ) A. B. 0 C. 3 D. 3或 [解析]［由 ，得 ,解得 .故选 .］ 即时练2 已知 ， ，且 ，其中 为坐标原点，则 点坐标为( B ) A. B. C. D. [解析]［因为 ， ，且 ，所以 是 的重心，又 ， ， ，所以 点坐标为 .故选 .］ 考点分类 突破 考点一 平面向量的坐标运算 自练型 1. 已知 ， ，若 ，则 的坐标为( D ) A. B. C. D. [解析]［设 .因为 ，所以 ，即 ，所以 解得 所以 .故选 .］ 2. 向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 ( D ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析]［以向量 和 的交点为原点建立平面直角坐标系（设每个小正方形边长为1），则 ， ， 因为 ，所以 ， 则 解得 所以 .故选 .］ 3. 已知 ， ， .设 , , ,且 , . （1） 求 ； 由已知得 ， ， [解析] （2） 求满足 的实数 , ； [解析]法一：因为 , 所以 解得 法二：因为 ,所以 ， 又因为 ,所以 , 所以 （3） 求 , 的坐标及向量 的坐标. [解析]设 为坐标原点，因为 ,所以 ，所以 . 又因为 ,所以 ，所以 ，所以 . 向量坐标运算问题的一般思路 1.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算. 2.巧借方程思