第5章 第1节 平面向量的概念与线性运算（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第五章 平面向量及其应用、复数 第一节 平面向量的概念与线性运算 ［课程标准］1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 知识分布 落实 1.向量的有关概念及向量的基本关系 （1）向量的概念与表示 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的模 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为0的向量 其方向是任意的，记作0 单位向量 模等于1个单位长度的向量 非零向量 的单位向量为 （2）向量的基本关系 名称 定义 备注 相等向量 长度相等且方向相同的向量. 向量 与 相等，记作 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等方向相反的向量 0的相反向量为0 的相反向量为 共线向量（平行向量） 方向相同或相反的非零向量，记作 0与任一向量共线（或平行） 向量的夹角 已知两个非零向量 和 ，在平面内选一点 ，作 , ,则 称为向量 与 的夹角 当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；当 时， 与 垂直，记作 . 规定零向量可与任一向量垂直 ［微提醒］　向量概念的4点注意 ①注意0与 的区别，0是一个实数， 是一个向量，且 ；②单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；③零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；④任一组平行向量都可以平移到同一直线上. 2.向量的线性运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 平行四边形法则三角形法则 （1）交换律： （2）结合律： 向量的减法 向量 减向量 等于向量 加上向量 的相反向量 三角形法则 向量的数乘运算 实数 与向量 的乘积是一个向量，记作 （1）方向： 当 时，向量 与向量 的方向相同； 当 时，向量 与向量 的方向相反； 当 时， （2）模： 设 , 是实数. （1） ； （2） ； （3） 学生用书第120页 ［微提醒］　向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接， 表示从始点指向终点的向量. 3.向量的数乘与向量共线的关系 （1）共线（平行）向量基本定理：给定一个非零向量 ，则对于任意向量 ， 的充要条件是存在唯一一个实数 ,使 . （2）直线的向量表示：用 表示过点 , 的直线 ，其中 称为直线 的方向向量. ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 与 是否相等与 , 的方向无关. ( √ ) （2） 若 , ，则 . ( × ) （3） 向量 与向量 是共线向量，则 , , , 四点在一条直线上. ( × ) （4） 当两个非零向量 , 共线时，一定有 ，反之亦成立. ( √ ) 2. （必修第二册P78习题 改编）如图，点 是正六边形 的中心，图中与 共线的向量有( C ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 [解析]［由图可知，根据正六边形的性质，与 共线的有 ， ， ，共3个.故选 .］ 3. （多选）（必修第二册P89例3改编）已知 , , 分别为 的边 , ， 的中点， , .下列命题中正确的是( ABD ) A. B. C. D. [解析] ,故 正确； ,故 正确； ，故 错误； ，故 正确.故选 .］ 4. （易错题）若 , ,且 ，则四边形 的形状是等腰梯形. [解析]因为 , , 所以 ，所以向量 和 共线，故 ,且长度不相等，故四边形 为梯形.又由 ，可得线段 ，故可知四边形 为等腰梯形. 巧记结论 1.若 ， 为不共线向量，则 ， 是以 ， 为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 2.三点共线的等价转化 , , 三点共线 为平面内异于 , , 的任一点， 为平面内异于 , , 的任一点， , , . 3.向量的中线公式 若 为线段 的中点， 为平面内一点，则 . 4.若 为 的重心，则有 （1） ； （2） . 即时练1 [2022·太原市模拟考试（一）]已知梯形 中， ,且 ,点 在线段 上，若 ，则实数 ( C ) A. B. C. D. [解析]［如图，延长 ， 交于点 ，因为 且 ，所以点 是 的中点， ，由题知 ，因为 , , 三点共线，由结论2知， ,解