第7章 核心专题突破（3） 向量在立体几何中的应用（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第七章 核心专题突破（三） 向量在立体几何中的应用 1 破疑难1 向量法求空间角 以空间几何为载体考查空间角是高考命题的重点，空间向量是将空 间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求二面角或线面角是高考的热 点，主要在解答题中呈现，主要解决的题型与方法：（1）向量法求异面 直线所成的角：若异面直线 <m></m> , <m></m> 的方向向量分别为 <m></m> , <m></m> ，异面直线所成 的角为 <m></m> ，则 <m></m> , <m></m> .（2）向量法求线面所成的角： 求出平面的法向量 <m></m> ，直线的方向向量 <m></m> ，设线面所成的角为 <m></m> ，则 <m></m> , <m></m> .（3）向量法求二面角：求出二面角 <m></m> 的两个平面 <m></m> 与 <m></m> 的法向量 <m></m> , <m></m> ,则平面 <m></m> 与平面 <m></m> 的平面角与向量 <m></m> 和 <m></m> 所成的角相等或互补. 返回 2 考向一 异面直线所成的角 例1（1） 如图，在四棱锥 <m></m> 中， <m></m> 底面 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，点 <m></m> 为 <m></m> 的中点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所成角的余弦值为 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> √ 返回 3 解析：以 <m></m> 为坐标原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线 分别为 <m></m> 轴、 <m></m> 轴、 <m></m> 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所成角的 余弦值为 <m></m> .故选A． 返回 4 （2）如图，在直三棱柱 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，点 <m></m> 为 <m></m> 的中点， 则异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所成的角为 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> √ 返回 5 解析：以 <m></m> 为坐标原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线分 别为 <m></m> 轴、 <m></m> 轴、 <m></m> 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> .故选B． 返回 6 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 1.建立空间直角坐标系； 2.用坐标表示两异面直线的方向向量； 3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； 4.注意两异面直线所成角的范围是 <m></m> ，即两异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 返回 7 针对练. 如图，在正方体 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 分别为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的中点，则异面 直线 <m></m> 与 <m></m> 所成的角等于 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> 解析： <m></m> 取 <m></m> 中点 <m></m> ，连接 <m></m> ， <m></m> . 因为在正方体 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的中点， 所以 <m></m> 为正三角形， <m></m> 为 <m></m> 与 <m></m> 所成的角. 所以 <m></m> .故选 <m></m> √ 返回 8 考向二 直线与平面所成的角 例2 （2022·全国甲卷）在四棱锥 <m></m> 中， <m></m> 底面 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ， <m></m> . 返回 9 （1）证明： <m></m>