第7章 第5节 空间向量的概念与运算（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第七章 第五节 空间向量的概念与运算 1 返回 知识分步 落实 考点分类 突破 课时精练（三十五） 2 ［课程标准］1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4.理解直线的方向向量与平面的法向量．5.能用向量语言表述直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系．6.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些简单定理． 返回 3 知识分步 落实 返回 4 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 空间向量 在空间中，具有______和______的量 <m></m> 、 <m></m> 、 <m></m> 零向量 长度为___的向量 <m></m> 单位向量 长度（模）为___的向量 相反向量 方向______且模______的向量 <m></m> 的相反向 量为 <m></m> 相等向量 方向______且模______的向量 <m></m> 共线向量 表示向量的两条有向线段所在的直线____ ___或______的向量 <m></m> 共面向量 平行于同一个______的向量 大小 方向 0 1 相反 相等 相同 相等 平行 重合 平面 返回 5 2.空间向量中的有关定理 （1）共线向量基本定理：空间两个向量 <m></m> 与 <m></m> 共线的充要条件是 存在唯一的实数 <m></m> ，使得 <m></m> ． （2）如果两个向量 <m></m> , <m></m> 不共线，那么向量 <m></m> 与向量 <m></m> , <m></m> 共面 <m></m> 存在唯 一的有序实数对 <m></m> ，使得____________． （3）空间向量基本定理：如果向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是空间三个不共面的向 量， <m></m> 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 <m></m> ， 使得 <m></m> _____________， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> }叫作空间的一组基． ［微提醒］ 空间向量基本定理的三点注意 （1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基．（2）由于 <m></m> 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故 <m></m> 不能作为 基．（3）一组基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示． <m></m> <m></m> 返回 6 3.空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量 <m></m> ， <m></m> ，在空间中任取一点 <m></m> ，作 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 叫作向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角，记作________，其 范围是_______________，若 <m></m> ， <m></m> ，则称 <m></m> 与 <m></m> __________，记 作 <m></m> ． ②两向量的数量积：已知两个空间非零向量 <m></m> ， <m></m> ，把_______________ 叫作向量 <m></m> 与 <m></m> 的数量积，记作_____，即 <m></m> ________________． 特殊地： <m></m> ， <m></m> ． <m></m> ， <m></m> <m></m> ， <m></m> 互相垂直 <m></m> ， <m></m> <m></m> <m></m> ， <m></m> 返回 7 （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律： <m></m> ________． ②交换律： <m></m> _____． ③分配律： <m></m> ___________． <m></m> <m></m> <m></m> 返回 8 （3）投影向量与投影数量 ①已知两个非零向量 <m></m> ， <m></m> ，在空间任取一个点 <m></m> ，作 <m></m> ， <m></m> ，过点 <m></m> 作直线 <m></m> 的垂线，垂足为点 <m></m> ，称向量_____为向量 <m></m> 在向量 <m></m> 方向上的投影向量，其长度等于_______________． ②若用 <m></m> 表示与向量 <m></m> 同方向的单位向量，则向量 <m></m> 在向量 <m></m> 方 向上的投影向量为 <m></m> __