第5章 培优增分系列（8） 高数探源——极化恒等式的应用（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第五章 培优增分系列（八） 高数探源——极化恒等式的应用 1 极化恒等式： <m></m> . （1）极化恒等式的几何意义是：设点 <m></m> 是 <m></m> 边 <m></m> 的中点，则 <m></m> ，即向量的数量积可转化为中线 长与半底边长的平方差. （2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合. （3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 返回 2 一、求值 典例1 在 <m></m> 中， <m></m> 是 <m></m> 的中点， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> _____. <m></m> 解析：如图所示，由极化恒等式，易得 <m></m> . 返回 3 二、求最值或取值范围 典例2 （2022·山东济宁一模）等边三角形 <m></m> 的外接圆的半径为2，点 <m></m> 是该圆上的动点，则 <m></m> 的最大值为 A.4 B.7 C.8 D.11 √ 返回 4 解析：［因为 <m></m> 为等边三角形，其外接圆的半径为 2，所以以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标 系，如图：则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，易知 <m></m> 轴，交 <m></m> 轴于 <m></m> 点，取 <m></m> 的中点为 <m></m> ，连接 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 所以 <m></m> .由极 化恒等式得， <m></m> .其中 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> .故选 <m></m> 返回 5 针对练1. （2022·陕西榆林三模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸， 是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都 有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧 迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗 花，已知图2中正六边形 <m></m> 的边长为4，圆 <m></m> 的圆心为正六边形的 中心，半径为2，若点 <m></m> 在正六边形的边上运动， <m></m> 为圆 <m></m> 的直径，则 <m></m> 的取值范围是 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> √ 返回 6 解析：［连接 <m></m> （图略），由极化恒等式得， <m></m> .又 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> .故选C.］ 返回 7 针对练2. 已知 <m></m> , <m></m> 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 <m></m> 满足 <m></m> ，则 <m></m> 的最大值是 A.1 B.2 C. <m></m> D. <m></m> √ 返回 8 解析：［如图所示，设 <m></m> ，记 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 为 <m></m> 的中点，由极化恒等式有 <m></m> <m></m> ， 所以 <m></m> ， 可知 <m></m> 是有固定起点，固定模长的动向量.点 <m></m> 的轨迹是以 <m></m> 为直径的 圆，且点 <m></m> 也在此圆上，所以 <m></m> 的最大值为圆的直径长，即为 <m></m> .故选 C.］ 返回 9 针对练3. 已知 <m></m> 为圆 <m></m> 的一条直径，点 <m></m> 为直线 <m></m> 上任意一点，则 <m></m> 的最小值是___. 1 解析：如图所示，由极化恒等式易知，当 <m></m> 垂直于直线 <m></m> 时， <m></m> 有最小值，即 <m></m> . 返回 10 针对练4. （2022·长沙长郡中学一模）在边长为3的正方形 <m></m> 中，以 点 <m></m> 为圆心作单位圆，分别交 <m></m> ， <m></m> 于 <m></m> ， <m></m> 两点，点 <m></m> 是劣弧 <m></m> 上一点，则 <m></m> 的取值范围为_____________. <m></m> 返回 11 解析：法一：连接 <m></m> ，设 <m></m> 为 <m></m> 的中点，连接 <m></m> （图略），由极化恒等式得， <m></m>