第3章 培优增分系列（五） 高数探源——洛必达法则（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

餐 第三章 A 培优增分系列（五） 高数探 源—洛必达法测 B 金 代数式，就设法求其最值“。”型的代数式，是大学数学中的不定式 问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则， 返回 若函数f(x)和g(x)的导函数分别为f'(x)和g(x),当g(x)≠0，且 g'(x)≠0时，则： (1)若1imx→af(x)=0及1imx-ag(x)=0,则1 lim=limf'e x→ag(x) x-ag'(x)i (2)若l1imx→af(x)=o及1imx-ag(x)=∞，则 imx-a得=limx-ag器： (3)若limx→of(x)=0及limx→og(x)=0,则 im名得=im一 返回 典例已知函数f(x)=n+，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 x+1 方程为x+2y-3=0. (1)求a,b的值： 解析：f)=使a b (x+1)2 由于直线x+2y-3=0的斜率为-，且过点(1,1)， 0唱。 f(1)=1, 故 返回 金旅 (2)如果当x>0,且x≠1时，f)>+空， x-1 求k的取值范围， 解析：法一：由(1)知f(x)=+ x+1x 所以f)-（+)= [2nx+-0-马. 令函数h)=21nx+--(x>0, 则h'(x)=k-1x2+1)+2x x2 返回 ①若k≤0，由h(x)=k2+1)-12 金绒 x2 知， 当x≠1时，h'(x)<0,h(x)单调递减.而h(1)=0, 故当xe(0,1)时，h(x)>0,可得2h(x)>0: 当x∈(1，+o)时，h(x)<0,可得h()>0. 从而当x>0,且x≠1时，fx)-(+约>0， 即f)>+兰 返回 ②若0<k<1,由于(k-1)(x2+1)+2x=(k-1)x2+2x+k-1的 图象开口向下，且4=4-4(k-1)2>0,对称轴x=己k>1, 所以当x∈(1，)时，(k-10(x2+1)+2x>0, 故h'(x)>0,而h(1)=0, 故当x∈(1，己)时，h(x)>0,可得h)<0,与题设矛盾. 返回 ③若k≥1，此时(k-1)(x2+1)+2x>0, 即h'(x)>0,而h(1)=0, 故当x∈(1，+∞)时，h(x)>0,可得，h(x)<0.与题设矛盾. 综上，k的取值范围为(-∞，0]. 法二：由题设可得，当x>0,x≠1时，k<+1恒成立 令96)=0+16x>0x≠1)， 则g(x)=2.x2+11nx-x2+1 (1-x2)2 返回 再令h(x)=(x2+1)lnx-x2+1(x>0,x≠1)， 则N(x)=2xlnx+-x,h"(x)=21nx+1-是， 易知h"(x)=2nx+1-之在(0，+∞)上为增函数，且h”(1)=0. 故当x∈(0,1)时，h"(x)<0,当x∈(1，+∞)时，h"(x)>0. 所以h'(x)在(0,1)上为减函数，在(1，+o)上为增函数， 故h'(x)>h'(1)=0, 所以h(x)在(0，+oo)上为增函数， 返回 又h(1)=0,所以当x∈(0,1)时，h(x)<0, 绒 当x∈(1，+∞)时，h(x)>0, 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数 由洛必达法则知1im1g()=2imx→1+1 2imx-1+0+1=2×(-)+1=0 = 所以k≤0，即k的取值范围为(-∞，0]. 返回