第3章 培优增分系列（六） 微点突破——函数中的同构问题（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第三章 培优增分系列（六） 微点突破——函数中的同构问题 1 具有相同结构的两个代数式称为同构式，两个同构式可以由同一个代数式通过变量代换而得. 在能成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快了解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法. 返回 2 1.指对变形的五种等价形式 （1） <m></m> ;（核心公式） （2） <m></m> ; （3） <m></m> ; （4） <m></m> ; （5） <m></m> . 返回 3 2.三种同构基本模式 （1）积型 <m></m> <m></m> 例： <m></m> . 说明:上述三个方法“取对”是最快捷和直观的. 返回 4 （2）商型 <m></m> <m></m> 返回 5 （3）和差型 <m></m> <m></m> 例： <m></m> . 返回 6 典例1 （2022·河北联考）已知当 <m></m> 时，不等式 <m></m> 恒 成立，则正实数 <m></m> 的最小值为 A.1 B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> √ 返回 7 解析：［由题意，原不等式可变形为 <m></m> ,即 <m></m> , 设 <m></m> , 则当 <m></m> 时， <m></m> 恒成立，因为 <m></m> ,所以函 数 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减，在 <m></m> 上单调递增， 因为 <m></m> , <m></m> ,所以 <m></m> , <m></m> , 返回 8 因为 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，所以要使 <m></m> , 只需 <m></m> ,两边取对数，得 <m></m> , 因为 <m></m> ,所以 <m></m> .令 <m></m> ,因为 <m></m> ,所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，所以 <m></m> ,所以 <m></m> ,则 <m></m> ,故正实数 <m></m> 的最小值为 <m></m> .故选B.］ 返回 9 典例2 已知函数 <m></m> ,若 <m></m> 时， <m></m> ,则实数 <m></m> 的取值范围为________. <m></m> 解析：因为 <m></m> ,所以 <m></m> , 所以 <m></m> ,所以 <m></m> ,设 <m></m> , <m></m> ,所以 <m></m> ,知在 <m></m> 时， <m></m> ,所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递 增，所以 <m></m> ,所以 <m></m> .设 <m></m> , <m></m> ,所以 <m></m> , 知在 <m></m> 时， <m></m> ,所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，所以 <m></m> . 返回 10 典例3 已知函数 <m></m> ，证明:当 <m></m> 时， <m></m> . 证明： 当 <m></m> 时， <m></m> ,所以只需证明 <m></m> , 由于 <m></m> . 令 <m></m> ,由 <m></m> 知 <m></m> 为增函数，又易证 <m></m> , 所以 <m></m> ,即 <m></m> 成立. 故当 <m></m> 时， <m></m> . 返回 11 1.同构小套路 （1）指对各一边，参数是关键. （2）常用“母函数”： <m></m> , <m></m> ,寻找“亲戚函数”是关键. （3）信手拈来凑同构，两边同时凑常数或系数. （4）复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围. 返回 12 2.同构法解题步骤 第一步：对不等式或方程进行同构变形，找到对应的同构函数， 第二步：判断对应函数的单调性， 第三步：求参数取值范围或证明不等式. 返回 13 针对练1. （多选）（2022·常州模拟）若 <m></m> ，则下列不等式 成立的是 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> √ √ 返回 14 解析：［构造函数 <m></m> ,易知 <m></m> ,所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减，因为 <m></m> ,所以 <m></m> ，即 <m></m> ,所以选项A正确，选项B错误；构造函数 <m></m> ， <m></m> ,易知 <m></m> 在 <m></m> 上单调 递增，而 <m></m> , <m></m> 时， <m><