第1章 培优增分系列（1）高数探源——柯西不等式（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第一章 培优增分系列（一） 高数探源——柯西不等式 1 柯西不等式 柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西 <m></m> 发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学 中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外， 柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技 巧可以达到事半功倍的效果. 返回 2 1.柯西不等式的代数形式 <m></m> ,当且仅当 <m></m> 时等号成立. 变形形式： <m></m> ； <m></m> ,当且仅当 <m></m> 时等号成立； <m></m> ,当且仅当 <m></m> 时等号成立. 返回 3 2.柯西不等式的其他形式 （1）向量形式：设 <m></m> , <m></m> 为平面上的两个向量，则 <m></m> ，当且 仅当 <m></m> 是零向量，或存在实数 <m></m> ，使 <m></m> 时，等号成立. （2）三角不等式形式：设 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 为任意实数，则： <m></m> . 返回 4 一、利用柯西不等式求最值（范围） 典例1 （熟题新法） （1）已知 <m></m> , <m></m> ， <m></m> ,则 <m></m> 的最小值为_______. <m></m> 解析：由 <m></m> ，得 <m></m> . 由柯西不等式 <m></m> ，得 <m></m> ,所以 <m></m> . 所以 <m></m> 的最小值为 <m></m> （当且仅当 <m></m> 时取等号）. 返回 5 （2） <m></m> 的最大值为___. 5 解析：由柯西不等式 <m></m> ，得 <m></m> ,所以 <m></m> 的最大值为 <m></m> . 返回 6 典例2（1） 已知 <m></m> , <m></m> 满足 <m></m> ,则 <m></m> 的最小值为___. <m></m> 解析：由柯西不等式得 <m></m> ,所以 <m></m> ,当且仅当 <m></m> 时等号成立，所以 <m></m> 的 最小值为 <m>.</m> 返回 7 （2） <m></m> 的最大值为_____. <m></m> 解析：由柯西不等式得 <m></m> ,当且仅 当 <m></m> 时等号成立，所以 <m></m> 的最大值为 <m></m> . 返回 8 针对练1. 已知 <m></m> ，则 <m></m> 的最小值为__. <m></m> 解析：由柯西不等式得， <m></m> ,所以 <m></m> , 当且仅当 <m></m> , <m></m> , <m></m> 时取等号，所以 <m></m> 的最小值为 <m></m> . 返回 9 针对练2. 函数 <m></m> 的最大值为_____. <m></m> 解析：由柯西不等式得， <m></m> <m></m> ,当且仅当 <m></m> 时取 等号，所以函数 <m></m> 的最大值为 <m></m> . 返回 10 二、利用柯西不等式证明不等式 典例3 （熟题新法）已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> , 求证： <m></m> . 证明：由柯西不等式 <m></m> ，得 <m></m> ,当且仅当 <m></m> 时取等号. 返回 11 典例4（1） （2022·全国甲卷节选）已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> 均为正数，且 <m></m> ，证明： <m></m> . 证明：由柯西不等式得 <m></m> , 所以 <m></m> ,又 <m></m> , <m></m> , <m></m> 均为正数，所以 <m></m> ，当且仅当 <m></m> 时取等号. 返回 12 （2）已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> ,若 <m></m> . 求证： <m></m> . 证明： 由柯西不等式得， <m></m> <m></m> <m></m> ,当且仅当 <m></m> , <m></m> , <m></m> 时 取等号. 返回 13 针对练1. 已知 <m></m> ,求证： <m></m> . 证明：由柯西不等式得， <m></m> , 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ,当且仅当 <m></m> , <m></m> , <m></m> 时取等号. 返回 14 针对练2. 已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 都是实数，求证： <m></m>