2023年广西中考数学专题复习：二次函数与直角三角形存在性问题

二次函数与直角三角形存在性问题 2022-2023学年人教版初中中考数学复习专题 一．解题方法： 1.几何法： （1）“两线一圆”作出点 （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可以设未知数 2.代数法 （1）表示点的坐标 （2）表示出三条边（用两点间距离公式） （3）分3类讨论 （4）代入方程，求解 3.斜率法 互相垂直的两条直线斜率之积为-1（斜率） 二．例题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴的交点为，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为的中点，过点作的平行线交轴于点，点为抛物线上第二象限内的一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线向左平移得到抛物线，使经过原点，与原抛物线的交点为，点为抛物线对称轴上的一点，若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点为和，与轴的交点为，顶点为点． (1)求、的值； (2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点的坐标； (3)若点使得是以为斜边的直角三角形，其中，求此时的值． 3．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）求证：∠ACB=90°； （3）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 4．二次函数的图象记为，其中． (1)请直接写出二次函数与轴的交点及其对称轴； (2)若二次函数过点，其与轴的另一个交点为，抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由； 5．我们把一次函数（为常数，）与二次函数（为常数，）称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”．如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于A，两点． (1)随着a的变化，他们的图像各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图像总过点 （写坐标）；不等式的解集为 ； (2)若△OAB是直角三角形，求a的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点D是点C关于原点的对称点，连接，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为，过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点E在线段上运动时，直线l交于点Q，当四边形是平行四边形时，求m的值； (3)是否存在点P，使是不以为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点 (3)满足条件的点的坐标为、、、，过程见解析 【分析】（1）由点的坐标可知的长，根据，即可得出点的坐标以及，再根据点、的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （2）由、的坐标可得，，求出直线的解析式，由可得的解析式以及点的坐标，设，利用分割图形求面积法即可找出关于的函数关系式，利用配方法以及二次函数的性质即可解决最值问题； （3）求出抛物线，可得点的坐标为，设，分别表示出，，分三种情况，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ， ， ， ， ， 将、代入中得，解得， 所求抛物线解析式为：； （2）解：连接，如图所示： 、，点为的中点， ， 设直线的解析式为，将，代入表达式得，解得， 直线的解析式为， ， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， 点， 设， ， ， 当时，最大，且最大值为，此时点； （3）解：， 抛物线向左平移个单位得到抛物线，使经过原点， ，对称轴为直线， 联立，解得， 点的坐标为， 设， ， ， ， ， ①当时，， ，解得， ； ②当时，， ，解得， ； ③当时，， ，解得或， 或， 综上可知：满足条件的点的坐标为、、、，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，用待定系数法求得二次函数的解析式，利用分类讨论思想是解决本题的关键． 2．(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，设，根据勾股定理得出，，进而解方程即可求解； （3）设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得， 解得： ∴抛物线解析式为， （2）由，令