7.1.1角的推广课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

7.1.1 角的推广 第七章 三角函数 学习目标 1．理解任意角的概念. 2．知道象限角. 3．会用集合表示终边相同的角. 新知引入 1.在初中角是如何定义的？角的范围是怎样的？ 定义：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角. 大小一般不超过一个周角（360°）的大小. 2. 举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ 新知引入 生活中很多实例会不在 [0° ,360°] 这个范围内.如： 体操运动员转体720°，跳水运动员向内、向外转体1080°.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. 探究问题（一）：角的概念的推广 新知探索 如图7-1-2所示，当摩天轮在持续不断的转动时， （1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°? （2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？ 从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？ 显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所经过的角的大小会超过360°，而且，甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反；如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转。由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号区分. 图7-1-2 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.即零角的 始边和终边重合. 任意角:包含任意大小的正角，负角，零角. 新知探索 概念 O A（B） 角的概念推广之后，你能利用转角给出60°+90°与60°-90°的几何意义吗？ O A B O A B 探究问题（二）：象限角 新知探索 思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合，那么对一个任意的角，角的终边可能落在哪些位置？ x o y 定义： （1）角的终边在第几象 限，我们就说这个角是第几象限角； （2）如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角. 新知探索 探究问题（三）：终边相同的角 思考 1：390 ，330，30 是第几象限的角？这些角的终边有什么关系？ x y o 390° -330° 它们都是第一象限的角角的终边相同. 30° 新知探索 探究问题（三）：终边相同的角 思考2：除了这些角之外还有哪些角与30°角终边相同？它们构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ 390°=30°+1×360° -330°=30°+（-1）×360° 1470°=30°+4×360° -1770°=30°+（-5）×360° 2×360o+30o -2×360o+30o 3×360o+30o -3×360o+30o 4×360o+30o -4×360o+30o ……， ……， 相差360o的整数倍 S={β|β= 30° ＋k·360°,　k∈Z}. 新知探索 探究问题（三）：终边相同的角 S={β|β=α＋k·360°，k∈Z} 注意： ⑴ k∈Z； ⑵ α是任意角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的 角有无限个，它们相差360°的整数倍. 典例精析 例1 如图7-1-6所示，已知角α的终边为射线OA,分别作出角α+90°， α-90°，α+180°的终边. 解 由角的定义可知，把角α的终边OA逆时针方向旋转90°可得α+90°的终边OB,把角α的终边OA顺时针方向旋转90°可得角 α-90°的终边OC,把角α的终边OA逆时针方向旋转______ 可 得角α+180°的终边OD,如图7-1-6. A B C D α -90° 90° 180° O 图7-1-6 典例精析 例2 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式 的元素β写出来. （1）60° ； （2）-21°. 解 （1）S={=60°+k·360°，k∈Z}， 解不等式 得 ，所以 可取-1,0或1.因此S中满足 的元素是 典例精析 （2） 所以k 可取_________. 0或1或2 因此S中满足 的元素是 解不等式 典例精析 例3 写出终边在第一象限内的角的集合. 解 因为大于0°且小于90°的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一