14.4 用样本估计总体-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）

14.4 用样本估计总体 【考点梳理】 考点一、用样本估计总体的集中趋势参数 1.平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 2.众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。 3.中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。 技巧归纳：平均数、中位数和众数的特点 (1)平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.容易受极端值的影响； (2)中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中（数据个数为奇数或数据个数为偶数且中间两数相等），也可能不在所给的数据中（数据个数为偶数且中间两数不相等）。当一组数据的个别数据变动较大时，可以用中位数描述其集中趋势 (3)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有多个数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。 4.频率直方图中的数字特征 (1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 (2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积相等”来求出。 (3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。 考点二、用样本估计总体的离散程度参数 1.极差我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差。 2.方差和标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算 术平方根，即为这组数据的标准差。 3.总体方差(标准差)和样本方差(标准差) ①如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称 为总体方差， 为总体标准差。 ②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为(i=1，2，…，k)， 则总体方差为 。 如果一个样本中个体的变量值分别为，，…，，样本平均数为，则称为样本方差， 为样本标准差。 3.标准差 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。 4.一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，，则其方差为 。 5.分层抽样数据的方差 一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，样本方差为，=1,2，……，k。记。 考点三、百分位数 1.k百分位数的特点 一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于，且至少有(100-k)%的数据大于或等于 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步，计算 第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步，如果 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数。 3.四分位数常用的分位数有25百分位数，50百分位数(即中位数)和75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上四分位数。 【题型归纳】 题型一、平均数、中位数、众数的应用 1．（2023·全国·高一专题练习）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高一专题练习）某企业有1000名职工，现按照总体的10%抽取样本，通过分层抽样得到如下年收入表： 年收入（元） 50万 15万 8万 4万 3万 1.2万 人数 1 6 15 55 20 3 某次工资上调中，只提高了最低收入，即从年收入1.2万元提高到2万元，其他职工的收入不变，则下列关于本企业