专题07 解一元二次方程（1）-【一遍过】2023年暑假八年级升九年级数学考点衔接一遍过（人教版）

专题07 解一元二次方程（1） 新知预习 （一）直接开平方法 （1）概念：一般地，对于方程x2 = p ①当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1=-，x2= ②当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0 ③当p<0时，因为对任意实数x，都有x2 ≥0 ，所以方程无实数根。 （二）配方法 （1）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” （2）用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式； 【注意】：当时，方程无解 ④求解：判断右边等式符号，开平方并求解。 新知训练 考点1：直接开平方 典例1：（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）关于x的方程的解是___________． 【变式1】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）一元二次方程的根为______． 【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）若，则________． 【变式3】（2023秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）一元二次方程的解是______． 考点2：配方法求字母的值 典例2：（2023秋·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程配方成的形式，则的值为________． 【变式1】（2022秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）把化成的形式，则______． 【变式2】（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）将配方成的形式，则___________． 【变式3】（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程配方后得，则的值为 _____． 考点3：配方法解方程 典例3：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程： 【变式1】（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）（配方法） 【变式2】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项得 配方： 开平方得： 移项： 所以：， 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【变式3】（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数． (1)求m，n的值． (2)解关于x的方程：． 考点4：配方法的应用——最值问题 典例4：（2023春·全国·八年级期中）发现与探索． 小丽的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题： (1)说明：代数式的最小值为______． (2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值． 【变式1】（2022秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题： 小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能，求解过程如下： 因为 ， 而， 所以的最小值是． 问题：你能否求出的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程． 【变式2】（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)求多项式的最小值． 【变式3】（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）【阅读理解】我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值． 例如：求的最小值问题 解：∵ ∵，∴， ∴的最小值为-8． 【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)类比：的最小值为_______． (2)探究：代数式有最______（填“大”或“小”）值为______． (3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？ 考点5：配方法的应用——比较大小 典例5：（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为　 　； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)已知：，求代数式的值． 【变式2】（2022春·北京平谷·七年级统考期末）阅读下列材料： 我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为