专题09 根与系数的关系-【一遍过】2023年暑假八年级升九年级数学考点衔接一遍过（人教版）

专题09 根与系数的关系 新知预习 （一）根与系数关系 （1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？ 根据求根公式可知， x1＝，x2＝． 由此可得 x1＋x2＝＋＝＝－， x1x2＝·＝＝． 因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系： x1＋x2＝－，x1x2＝． （2）注意事项： 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。 （二）根与系数的关系常用变形式 （1）常见与两根有关的代数式变形 ①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=; ③+=; ④=-4x1x2 新知训练 考点1：利用根与系数的关系求式子的值 典例1：（2023·新疆阿克苏·统考一模）若，为方程的两根，则的值为______． 【变式1】（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【变式2】（2023春·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）一元二次方程的两个根为， 则___________． 【变式3】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于_________． 考点2：利用根与系数关系解方程 典例2：（2023·山东济南·统考一模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______． 【变式1】（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）已知关于x方程有一个根为，则方程的另一个根为 ___________． 【变式2】（2023秋·湖南永州·九年级统考期末）已知关于的方程有一个根是，则方程的另一个根_____． 【变式3】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）一元二次方程的一个根为，则的值为_____，另一根为______． 考点3：利用根与系数的关系求解变形式 典例3：（2023春·浙江·八年级专题练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)上述方程的根，恰好是斜边为6的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7) (8)． 【变式2】（2023·四川南充·统考一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中． (1)求证此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根是、，且，求． 【变式3】（2023秋·四川雅安·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程的两个根为a，b． (1)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值； (2)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值． 新知检测 一、单选题 1．（2020·湖北·九年级校联考阶段练习）设—元二次方程的两个实根为和，则下列结论正确的是（   ）. A． B． C． D． 2．（2021春·八年级课时练习）已知方程的两个根是、，那么这两个根与方程中系数的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·云南德宏·九年级统考期末）一元二次方程的两根分别为和，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 4．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 5．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有两个正的实数根 6．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 7．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（    ） A．2 B．-1 C． D．-2 8．（2022·湖南益阳·统考中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 9．（2022秋·山西大同·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 10．（2021秋·湖北黄石·