专题3.1 函数的概念及其表示（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题3.1 函数的概念及其表示 【核心素养】 1.以常见函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养． 2.考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养． 3.与不等式、方程等相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养． 知识点一 函数的概念 函数 两个集合 A，B 设A，B是两个 非空数集 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 知识点二 函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 知识点三 函数的表示方法 1.函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示． 2.【易混辨析】 （1）判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同． （2）从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点. 知识点四 分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 知识点五 区间的概念 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.特别提醒： (1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． (2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． (3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． 常考题型剖析 题型一：函数的概念 【典例分析】 例1-1.（2022秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 例1-2.（2023·全国·校联考模拟预测）映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则： 等级原始分占比赋分区间 A 3% [91,100] B+ 79% [81,90] B 16% [71,80] C+ 24% [61,70] C 24% [51,60] D+ 16% [41,50] D 7% [31,40] E 3% [21,30] 转换对应赋分T的公式： 其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数） 若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（    ） A．91 B．92 C．93 D．94 例1-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________ 【规律方法】 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【变式训练】 变式1-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ） A． B． ， C． D． 变式1-2. 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 变式1-3. ，x∈R. (1)计算的值； (2)计算的值． 题型二：求函数的定义域 例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（    ）