3.3幂函数教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§3.3 幂函数 1、 教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学必修第一册》第三章第三节《幂函数》，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数的的概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质研究函数的意识。从教材地位看，学生对特殊的正反比例函数和二次函数等已经很熟，幂函数正是对这些在形式上有着共同特征的函数的推广;从研究方法上看本节突出幂指数从特殊到一般的推广，为后续学习做了铺垫。 二、学情分析 在知识上，学生已经有了学习指数函数和对数函数的经历，有初中的一次函数、二次函数和反比例函数等作为基础，这为学习幂函数做好了知识和方法上的准备。在能力上，学生已经具备一定的形象思维和抽象思维能力，有一定的分析和解决问题的能力。对于进入高中半个学期的学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，需要教师点拨。 三、教学目标 1．知识与技能 （1）通过5个具体的实例了解幂函数的概念; （2）并通过具体实例研究幂函数的图象和性质，能初步进行应用。 2. 过程与方法 （1）通过引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法； （2） 通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣； （3）对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力。 3．情态态度与价值观 进一步渗透数形结合、分类讨论、类比和归纳的数学思想方法;通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神。 四、教学重点与难点 教学重点：通过五个具体的幂函数了解概念，研究性质，体会图象的变化规律。 教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质。 五、教学设计 （一）实例观察，引入新课 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克,那么她需要支付元 是的函数 （2）如果正方形的边长为,那么正方形的面积 是的函数 （3）如果立方体的边长为,那么立方体的体积 是的函数 （4）如果一个正方形场地的面积为,那么正方形的边长 是的函数 （5）如果某人 s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度km/s 是的函数 问题1：观察以上问题中的函数具有什么共同特征? 师生活动：这几个函数解析式都具有幂的形式，幂的底数是自变量，指数是常数（为定值）. 设计意图：引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的定义. （二）类比联想，探究新知 1.幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。 问题2：判断， ， 是否为幂函数。 师生活动：幂函数的解析式必须是的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 设计意图：加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 2. 幂函数的图像与性质 问题3：有了幂函数的定义，接着我们应该研究什么？ 师生活动：根据我们学习过的函数的知识，应该研究函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等性质。 根据初中学习函数的经验，我们可以先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质 不妨也找出典型的函数作为代表： 追问1： 的图像是我们熟悉的，如何画出 的图像呢？ 师生活动：观察函数解析式的特点，得出是奇函数，的定义域为非负数的集合，取点利用描点法作图。学生进行作图，在同一坐标系中画出五个幂函数的图像。 问题4：观察这五个函数图像，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？ 师生活动：学生回答，通过交流补充归纳得到五个幂函数的性质，并将这些性质填入表格中。 ( 函 数 性 质 ) y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0，+∞) {x︱x≠0} 值域 R [0，+∞) R [0，+∞) {y︱y≠0} 单调性 增 (-∞,0)增 [0，+∞)减 增 增 (-∞,0)减 （0+∞)减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 （1,1） 问题5：观察图像所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？ 师生活动：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正. 问题6：第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？ 师生活动：当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚. 教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越